Question

【題目】附加題：

（1）．填空：請(qǐng)用文字語言敘述勾股定理的逆定理：__________．

勾股定理的逆定理所給出的判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法，和學(xué)過的一些其它幾何圖形的判定方法不同，它通過計(jì)算來判斷．實(shí)際上計(jì)算在幾何中也是很重要的，從數(shù)學(xué)方法這個(gè)意義上講，我們學(xué)習(xí)勾股定理的逆定理，更重要的是拓展思維，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)中的各種方法．

（2）．閱讀：小明在學(xué)習(xí)勾股定理后，嘗試著利用計(jì)算的方法進(jìn)行論證，解決了如下問題：

如圖中，，是的中點(diǎn)，于，請(qǐng)說明三條線段、、總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形．

證明：設(shè)，，，，

∵是的中點(diǎn)，∴，

在中，，

在中，，

消去，得，從而，，

又因?yàn)樵?/span>中，，

消去得，消去，所以，即．

所以，三條線段、、總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形．

可見，計(jì)算在幾何證明中也是很重要的．小明正是利用代數(shù)中計(jì)算、消元等手段，結(jié)合相關(guān)定理來論證了幾何問題．

（3）．解決問題：在矩形中，點(diǎn)、、、分別在邊、、、上，使得，求證：四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：

（1）用文字語言敘述出勾股定理的逆定理即可；

（3）如圖，設(shè)AM=a，BM=b，PC=c，PD=d，結(jié)合已知可得：，，， ；由四邊形ABCD是矩形可得AB=CD，AD=BC即可列出兩個(gè)關(guān)于a、b、c、d的等式，把等式變形即可證得a=c，b=d，從而可得AM=CP，BM=PD，AQ=CN，DQ=BN，再證△AMQ≌△CPN，△BMN≌△DPQ，即可證得MQ=PN，MN=PQ，從而可得四邊形MNPQ是平行四邊形.

試題解析：

1．勾股定理的逆定理內(nèi)容為：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，，，滿足，

那么這個(gè)三角形是直角三角形．

3．設(shè)，，，，

則，，，，

∵ 四邊形為矩形，

∴ ，，

∴ ，

整理得：，

化簡(jiǎn)②得：，

，

，

，

，

，

∵ ，

∴ ，即a=c，

∴ b-d=c-a=0，

∴ ，

∴ AM=CP，BM=PD，AQ=CN，DQ=BN，

又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

∴△AMQ≌△CPN，△BMN≌△DPQ，

∴ ，，

∴ 四邊形是平行四邊形．