Question

如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若BK=

5

2

KC，求

CD

AB

的值；
（2）連接BE，若BE平分∠ABC，則當(dāng)AE=

1

2

AD時(shí)，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并予以證明．再探究：當(dāng)AE=

1

n

AD（n＞2），而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，不必證明．

Answer 1

分析：（1）由已知得

CK

BK

=

2

5

，由CD∥AB可證△KCD∽△KBA，利用

CD

AB

=

CK

BK

求值；
（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位線，由中位線定理得EF∥AB∥CD，可知G為BC的中點(diǎn)，由平行線及角平分線性質(zhì)，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，則EG=BG=

1

2

BC，而GF=

1

2

CD，EF=

1

2

AB，利用EF=EG+GF求線段AB、BC、CD三者之間的數(shù)量關(guān)系；
當(dāng)AE=

1

n

AD（n＞2）時(shí)，EG=BG=

1

n

BC，而GF=

1

n

CD，EF=

n-1

n

AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n-1）AB．

解答：解：（1）∵BK=

5

2

KC，
∴

CK

BK

=

2

5

，
又∵CD∥AB，
∴△KCD∽△KBA，
∴

CD

AB

=

CK

BK

=

2

5

（2）當(dāng)BE平分∠ABC，AE=

1

2

AD時(shí)，AB=BC+CD；
證明：取BD的中點(diǎn)為F，連接EF交BC于G點(diǎn)，
由中位線定理，得EF∥AB∥CD，
∴G為BC的中點(diǎn)，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=

1

2

BC，而GF=

1

2

CD，EF=

1

2

AB，
∵EF=EG+GF，
即：

1

2

AB=

1

2

BC+

1

2

CD；
∴AB=BC+CD；
同理，當(dāng)AE=

1

n

AD（n＞2）時(shí)，EF∥AB，
同理可得：

BG

BC

=

AE

AD

=

1

n

，則BG=

1

n

•BC，則EG=BG=

1

n

•BC，

GF

CD

=

BG

BC

=

1

n

，則GF=

1

n

•CD，

EF

AB

=

ED

AD

=

n-1

n

，
∴

1

n

•BC+

1

n

•CD=

n-1

n

•AB，
∴BC+CD=（n-1）AB，
故當(dāng)AE=

1

n

AD（n＞2）時(shí)，BC+CD=（n-1）AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．關(guān)鍵是構(gòu)造平行線，由特殊到一般探索規(guī)律．