Question

8．已知：如圖，點(diǎn)E是⊙O的直徑，AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與A，B不重合），在AB下方有一條弦CD始終與AB保持平行，且AE=CD．連接AC，ED，延長(zhǎng)ED交⊙O切線BF于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CD交BF于點(diǎn)M．請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)時(shí)：
（1）四邊形ACDE能夠成為菱形嗎？寫(xiě)出你的猜想并給予證明．
（2）MB與MF數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？寫(xiě)出猜想并給予證明．

Answer 1

分析 （1）由條件可證明四邊形ACDE為平行四邊形，當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，則有AE=ED，四邊形ACDE為菱形；
（2）由條件可證明AC=BD=DE，再利用切線的性質(zhì)可證得BD=DF，可證明D為EF的中點(diǎn)，則M為BF的中點(diǎn)，可得出結(jié)論．

解答 解：
（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O重合時(shí)，四邊形ACDE為菱形．
證明如下：
∵AE∥CD，且AE=CD，
∴四邊形ACDE為平行四邊形，
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，EA=ED，
∴四邊形ACDE為菱形；
（2）不發(fā)生變化，證明如下：
如圖，連接AD、BD，

∵AB∥CD，
∴∠ADC=∠DAB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴AC=BD，
在平行四邊形ACDE中，ED=AC，
∴DE=BD，
∴∠DEB=∠DBE，
∵BF與⊙O相切，
∴∠EBF=90°，
∴∠DEB+∠F=∠DBE+∠DBF=90°，
∴∠DBF=∠F，
∴DB=DF，
∴DE=DF，
∵DM∥EB，
∴MB=MF．

點(diǎn)評(píng) 本題為圓的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有菱形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)及三角形中位線定理的逆定理等．在（1）中注意利用好圓的半徑相等，在（2）中證得D是EF的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)相對(duì)基礎(chǔ)，難度不大．