Question

6．如圖，一副直角三角板△ABC和△DEF，已知BC=DF，EF=2DE．
（1）直接寫出∠B，∠C，∠E，∠F的度數(shù)的度數(shù)；
（2）將△ABC和△DEF放置像圖2的位置，點B、D、C、F在同一直線上，點A在DE上，△ABC固定不動，將△DEF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)至EF∥CB（如圖2），求△DEF旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；并通過計算判斷點A是否在EF上；
（3）在圖3的位置上，△DEF繞點D繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)至DE與BC重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個三角形的邊是否存在平行關(guān)系？若存在直接寫出旋轉(zhuǎn)的角度和平行關(guān)系，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角板的直接可求得答案；
（2）由EF∥BC，可求得∠FDC的角度，可求得旋轉(zhuǎn)角；過D作DG⊥EF于點G，可求得DG=$\frac{1}{2}$DF，AD=$\frac{1}{2}$BC，可得到DG=AD，可得出結(jié)論；
（3）分DF∥AB、DE∥AC和EF∥AB三種情況，可分別求得相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角．

解答 解：
（1）∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，
由題可知△DEF為含30°角的三角板，
∵EF=2DE，
∴∠E=60°，∠F=30°；
（2）旋轉(zhuǎn)的角度為30°，理由如下：
如圖1，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴AD=$\frac{1}{2}$BC，
在△DEF中，過D作DG⊥EF，垂足為G，在Rt△DFG中，∠F=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$DF，
∵BC=DF，
∴DG=AD，
∴當(dāng)EF∥BC時，點A在EF上；
（3）存在．
如圖2，當(dāng)DF∥AB時，則∠FDC=∠B=45°，

∵∠EDF=90°，
∴∠EDB=45°=∠C，
∴此時DE∥AC；
如圖3，當(dāng)EF∥AB時，則∠AHD=∠E=60°，

∴∠EDB=∠AHD-∠B=60°-45°=15°，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDC=75°，
綜上可知當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為45°時有DE∥AC和DF∥AB，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為75°時，有EF∥AB．

點評 本題為幾何變換的綜合應(yīng)用，涉及知識點有直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等．在（2）中利用直角三角形的性質(zhì)求得AD=DG是解題的關(guān)鍵，在（3）中考慮平行的所有可能是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．