Question

9．若4^m•2^2m-3÷4ⁿ=8，（2x²+mx-3）（x²+nx+2）不含有x²項．
（1）求4m²+n²的值；
（2）求2m²+2mn+$\frac{1}{2}$n²-3的值．

Answer 1

分析 利用同底數冪的乘法和除法法則，得到2m-n=3；展開多項式，合并同類項，令x²的系數等于0，求出mn的值．
（1）變形4m²+n²為（2m-n）²+2mn，整體代入求值；
（2）變形2m²+2mn+$\frac{1}{2}$n²-3為含（2m-n）、mn的式子，整體代入求值．

解答 解：∵4^m•2^2m-3÷4ⁿ=8，
∴2^2m•2^2m-3÷2²ⁿ=2³
即2^4m-3-2n=2³
∴4m-3-2n=3
∴2m-n=3．
∵（2x²+mx-3）（x²+nx+2）
=2x⁴+2nx³+4x²+mx³+mnx²+2mx-3x²-3nx-6
=2x⁴+（2n+m）x³+（1+mn）x²+（2m-3n）x-6
∵不含x²的項，
∴1+mn=0，即mn=-1．
（1）4m²+n²=（2m-n）²+2mn=9-2=7；
（2）2m²+2mn+$\frac{1}{2}$n²-3
=$\frac{1}{2}$（4m²+4mn+n²）-3
=$\frac{1}{2}$[（2m-n）²+8mn]-3
=$\frac{1}{2}$（9-8）-3
=-$\frac{5}{2}$

點評 本題考查了多項式乘多項式、合并同類項、冪的乘方、同底數冪的乘除法及完全平方公式的變形．解決本題的關鍵是通過4^m•2^2m-3÷4ⁿ=8，（2x²+mx-3）（x²+nx+2）不含有x²項，確定出m、n的關系．