Question

 已知：如圖，在直角坐標系xoy中，點A（2，0），點B在第一象限且△OAB為正三角形，△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點C，過點C的圓的切線交x軸于點D．

小題1:（1）求B、C兩點的坐標；
小題2:（2）求直線CD的函數(shù)解析式；
小題3:（3）設(shè)E、F分別是線段AB、AD上的兩個動點，且EF平分四邊形ABCD的周長．
試探究：當點E運動到什么位置時，△AEF的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

小題1:解：（1）∵A（2，0），
∴OA=2．
作BG⊥OA于G，
∵△OAB為正三角形，∴OG=1，BG=，
∴B（1，）． ………………………………1分
連AC，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°．
，∴OC=．  
∴C（0，）． …………………………………2分
小題2:（2）∵∠AOC=90°，∴AC是圓的直徑，
又∵CD是圓的切線，∴CD⊥AC．
∴∠OCD=30°，OD=．∴D（，0）．
設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），
則，解得 
∴直線CD的解析式為y=．…4分
小題3:（3）∵AB=OA=2，OD=，CD=2OD=，BC=OC=，
∴四邊形ABCD的周長6+．
設(shè)AE=t，△AEF的面積為S，
則AF=3+－t，S=（3+）．
∵S=（3+）=．
∵點E、F分別在線段AB、AD上，
∴   ∴…………………………6分
∴當t=時，S_最大=．…………8分

略