Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠C=60°，∠A=30°，CD=BC．

（1）求∠B+∠D的度數(shù)．

（2）連接AC，探究AD，AB，AC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（3）若BC=2，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足DE2=CE2+BE2，求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）∠D+∠B=270°；（2）AD2+AB2=AC2；理由見解析；（3）點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度是．

【解析】

（1）利用四邊形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；

（2）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△QDC，連接AQ，證明∠QDA=90°，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論；

（3）如圖中，將△BCE繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CDF，連接EF，想辦法證明∠BEC=150°即可解決問題.

（1）在四邊形ABCD中，∠C=60°，∠A=30°，

∴∠D+∠B=360°-∠A-∠C=360°-60°-30°=270°．

（2）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△QDC，連接AQ，

∴∠ACQ=60°，AC=CQ，AB=QD，

∴△ACQ是等邊三角形，

∴AC=CQ=AQ，

由（1）知：∠ADC+∠B=270°，

∴∠ADC+∠CDQ=270°，

可得∠QDA=90°，

∴AD2+DQ2=AQ2，

∴AD2+AB2=AC2；

（3）將△BCE繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CDF，連接EF，

∵CE=CF，∠ECF=60°，

∴△CEF是等邊三角形，

∴EF=CE，∠CFE=60°，

∵DE2=CE2+BE2，

∴DE2=EF2+DF2，

∴∠DFE=90°，

∴∠CFD=∠CFE+∠DFE=60°+90°=150°，

∴∠CEB=150°，

則動(dòng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，滿足∠CEB=150°，以BC為邊向外作等邊△OBC，

則點(diǎn)E是以O為圓心，OB為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為，

∵OB=BC=2，

則==．

點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度是．