Question

在平面直角坐標系中，直線AB與兩坐標軸的交點分別是A（0，4），B（4，0），C為線段OP上一點，以AC為邊向右作正方形ACDE，連接EB，EB與CD相交于點P．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求證：BE⊥BO；
（3）求點P到達最高位置時的坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先設直線AB的解析式為：y=kx+b，由直線AB與兩坐標軸的交點分別是A（0，4），B（4，0），利用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式；
（2）首先過點E作EF⊥y軸于點F，易證得△AEF≌△CAO（AAS），則可證得四邊形OBEF是矩形，則可得BE⊥BO；
（3）首先設點C（a，0），則可得OC=a，BC=OB-OC=4-a，易證得△OAC∽△BCP，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得PB=-

1

4

a²+a=-

1

4

（a-2）²+1，繼而求得答案．

解答：解：（1）設直線AB的解析式為：y=kx+b，
∵直線AB與兩坐標軸的交點分別是A（0，4），B（4，0），
∴

b=4 4k+b=0

，
解得：

k=-1 b=4

，
∴直線AB的解析式為：y=-x+4；

（2）過點E作EF⊥y軸于點F，
∵四邊形ACDE是正方形，
∴AC=AE，∠EAC=90°，
∴∠EAF+∠OAC=90°，
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠EAF=∠ACO，
在△AEF和△CAO中，

∠AFE=∠COA=90° ∠EAF=∠ACO AE=CA

，
∴△AEF≌△CAO（AAS），
∴EF=OA=4，AF=OC，
∴EF=OB，
∵EF∥OB，
∴四邊形OBEF是平行四邊形，
∵∠FOB=90°，
∴四邊形OBEF是矩形，
∴BE⊥BO；

（3）∵∠ACD=90°，
∴∠ACO+∠BCP=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCP=∠OAC，
∵∠AOC=∠CBP=90°，
∴△OAC∽△BCP，
∴

OA

BC

=

OC

BP

，
設點C（a，0），
則OC=a，BC=OB-OC=4-a，
∴

4

4-a

=

a

PB

，
∴PB=-

1

4

a²+a=-

1

4

（a-2）²+1，
∴當a=2時，PB最大，最大值為1，
∴點P到達最高位置時的坐標為：（4，1）．

點評：此題屬于一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．