Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（20，0）、（0，15），△CDE≌△AOB，且△CDE的頂點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，DE邊在AB上，△CDE以每秒5個(gè)單位長度的速度勻速向下平移．當(dāng)點(diǎn)C落在AB邊上時(shí)停止移動(dòng)．設(shè)平移的時(shí)間為t（秒），△CDE與△AOB重疊部分圖形的面積為s（平方單位）．
（1）求證：CE∥y軸；
（2）點(diǎn)E落在x軸上時(shí)，求t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段BO上時(shí)，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）如圖②，設(shè)CD、CE與AB的交點(diǎn)分別為M、N，以MN為邊，在AB的下方作正方形MNPQ，求正方形MNPQ的邊與坐標(biāo)軸有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CED=∠ABO，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證明即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB的長，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等求出DE，然后求出AE的長，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算即可得解；
（3）分①點(diǎn)E在x軸上方時(shí)，先表示出C′E，再根據(jù)∠CED的余弦和正弦表示出EF、C′F，然后根據(jù)重疊部分的面積=△CDE的面積-△C′EF的面積，列式整理即可得解；②點(diǎn)E在x軸下方時(shí)，再表示出E′G，根據(jù)∠E′的正切值表示出GH，然后根據(jù)重疊部分的面積=△CDE的面積-△C′EF的面積-△E′GF的面積，列式整理即可得解；
（4）利用△AOB的面積表示出AB邊上的高線的長度為12，再根據(jù)BD表示出DM，根據(jù)CN的長用∠C的正弦值表示出MN的長，然后根據(jù)DM＞MN且DM≠12，列出不等式求解即可．
解答：（1）證明：∵△CDE≌△AOB，
∴∠CED=∠ABO，
∴CE∥y軸；

（2）解：∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（20，0）、（0，15），
∴OA=20，OB=15，
∴AB===25，
∵△CDE≌△AOB，
∴DE=OB=15，
∴AE=AB-DE=25-15=10，
如圖1，∵CE∥y軸，
∴△AEE′∽△ABO，
∴=，
即=，
解得EE′=6，
∵△CDE的移動(dòng)速度為每秒5個(gè)單位長度，
∴t=；


（3）解：①點(diǎn)E在x軸上方時(shí)（0≤t≤），如圖1，C′E=25-5t，
則EF=C′E•cos∠CED=（25-5t）×=3（5-t），
C′F=C′E•sin∠CED=（25-5t）×=4（5-t），
重疊部分的面積=△CDE的面積-△C′EF的面積，
=×20×15-×3（5-t）×4（5-t），
=150-6（5-t）²，
=-6t²+60t，
②點(diǎn)E在x軸下方時(shí)，∵15÷5=3，
∴＜t≤3，
如圖2，GE′=5t-6，
∴GH=GE′•tan∠E′=（5t-6）×=（5t-6），
∴重疊部分的面積=△CDE的面積-△C′EF的面積-△E′GF的面積，
=×20×15-×3（5-t）×4（5-t）-×（5t-6）×（5t-6），
=150-6（5-t）²-（5t-6）²，
=-t²+100t-24，
所以，s=；

（4）解：設(shè)△ABO的邊AB上的高為h，則S_△ABO=×25•h=×20×15，
解得h=12，
∵△CDE的移動(dòng)速度為每秒5個(gè)單位長度，
∴BD=5t，
DM=BD•sin∠ABO=5t•=4t，
又∵CN=25-5t，
∴MN=CN•sin∠C=（25-5t）×=3（5-t），
∵正方形MNPQ的邊與坐標(biāo)軸有四個(gè)公共點(diǎn)，
∴DM＜MN且MN≠h，
即4t＜3（5-t）且3（5-t）≠12，
解得t＜且t≠1，
∴t的取值范圍為：0≤t＜1或1＜t＜．
點(diǎn)評(píng)：本題是相似綜合題型，主要考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)較大，（3）要注意分情況討論求解，（4）要排除坐標(biāo)原點(diǎn)在正方形邊上的情況．