Question

2．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB邊上的一個動點（點D不與點A、B重合），連接CD，過點D作CD的垂線交射線CA于點E．當△ADE為等腰三角形時，AD的長度為1或$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分兩種情況：①當點E在AC上時，AE=AD，則∠EDA=∠BAC=30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BC=$\frac{1}{2}$AB=1，∠B=60°，得出AC=$\sqrt{3}$，∠BCD=60°，證出△BCD是等邊三角形，得出CD=BC=1，AD=CD=1；
②當點E在射線CA上時，AE=AD，得出∠E=∠ADE=15°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠ACD=∠CDA，由等角對等邊得出AD=AC=$\sqrt{3}$；即可得出結果．

解答 解：分兩種情況：①當點E在AC上時，AE=AD，
∴∠EDA=∠BAC=30°，
∵DE⊥CD，
∴∠BDC=60°，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=1，∠B=60°，
∴AC=$\sqrt{3}$，∠BCD=60°，
∴△BCD是等邊三角形，∠DCA=30°=∠BAC，
∴CD=BC=1，AD=CD=1；
②當點E在射線CA上時，如圖所示：
AE=AD，
∴∠E=∠ADE=15°，
∵DE⊥CD，
∴∠CDA=90°-15°=75°，
∴∠ACD=180°-30°-75°=75°=∠CDA，
∴AD=AC=$\sqrt{3}$；
綜上所述：AD的長度為1或$\sqrt{3}$；
故答案為：1或$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關鍵．