Question

閱讀并解答：
①方程x²-2x+1=0的根是x₁=x₂=1，則有x₁+x₂=2，x₁x₂=1．
②方程2x²-x-2=0的根是x₁=，x₂=，則有x₁+x₂=，x₁x₂=-1．
③方程3x²+4x-7=0的根是x₁=-，x₂=1，則有x₁+x₂=-，x₁x₂=-．
（1）根據(jù)以上①②③請你猜想：如果關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個實數(shù)根為x₁，x₂，那么x₁，x₂與系數(shù)a、b、c有什么關系？請寫出你的猜想并證明你的猜想；
（2）利用你的猜想結論，解決下面的問題：
已知關于x的方程x²+（2k+1）x+k²-2=0有實數(shù)根x₁，x₂，且x₁²+x₂²=11，求k的值．

Answer 1

解：（1）猜想為：設ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有，．
理由：設x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，
那么由求根公式可知，，．
于是有，，
綜上得，設ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有，．

（2）x₁、x₂是方程x²+（2k+1）x+k²-2=0的兩個實數(shù)根
∴x₁+x₂=-（2k+1），x₁x₂=k²-2，
又∵x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
∴[-（2k+1）]²-2×（k²-2）=11
整理得k²+2k-3=0，
解得k=1或-3，
又∵△=[-（2k+1）]²-4（k²-2 ）≥0，解得k≥-，
∴k=1．
分析：（1）由①②③中兩根之和與兩根之積的結果可以看出，兩根之和正好等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)之比的相反數(shù)，兩根之積正好等于常數(shù)項與二次項系數(shù)之比．
（2）欲求k的值，先把代數(shù)式x₁²+x₂²變形為兩根之積或兩根之和的形式，然后與兩根之和公式、兩根之積公式聯(lián)立組成方程組，解方程組即可求k值．
點評：本題考查了學生的總結和分析能力，善于總結，善于發(fā)現(xiàn)，學會分析是學好數(shù)學必備的能力．
將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．