Question

【題目】如圖，拋物線y═﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）．有一寬度為1，長度足夠長的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，交直線AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)E和點(diǎn)F．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)M和N都在線段AC上時，連接MF，如果sin∠AMF=，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）在矩形的平移過程中，是否存在以點(diǎn)P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+5，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣5，0）；（2）點(diǎn)Q坐標(biāo)（﹣4，）；（3）以點(diǎn)P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．

【解析】

(1)把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出b、c的值，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可;(2) 作FG⊥AC于G , 設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)（m，0），根據(jù)sin∠AMF=，列出方程解答即可; (3)分兩種情況討論①當(dāng)MN是對角線時；②當(dāng)MN為邊時；解答即可.

（1）∵拋物線上的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）

∴將其代入y═﹣x2+bx+c，得

，

解得b=﹣，c=5．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+5．

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣5，0）．

（2）作FG⊥AC于G，

設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)（m，0），

則AF=m+5，AE=EM=m+6，F(xiàn)G=（m+5），F(xiàn)M=，

∵sin∠AMF=，

∴=，

∴=，

整理得到2m2+19m+44=0，

∴（m+4）（2m+11）=0，

∴m=﹣4或﹣5.5（舍棄），

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（﹣4，）．

（3）①當(dāng)MN是對角線時，點(diǎn)M在y軸的右側(cè)，設(shè)點(diǎn)F（m，0），

∵直線AC解析式為y=x+5，

∴點(diǎn)N（m，m+5），點(diǎn)M（m+1，m+6），

∵QN=PM，

∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，

解得m=﹣3+或﹣3﹣（舍棄），

此時M（﹣2+，3+），

當(dāng)MN是對角線時，點(diǎn)N在點(diǎn)A的左側(cè)時，設(shè)點(diǎn)F（m，0）．

∴m+5﹣（﹣m2﹣m+5）=[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]﹣（m+6），

解得m=﹣3﹣或﹣3+（舍棄），

此時M（﹣2﹣，3﹣）

②當(dāng)MN為邊時，設(shè)點(diǎn)Q（m，﹣m2﹣m+5）則點(diǎn)P（m+1，﹣m2﹣m+6），

∵NQ=PM，

∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，

解得m=﹣3．

∴點(diǎn)M坐標(biāo)（﹣2，3），

綜上所述以點(diǎn)P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．