Question

【題目】四邊形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，連接DF，G為DF的中點，連接EG，CG，EC．

（1）如圖1，若點E在CB邊的延長線上，直接寫出EG與GC的位置關系及的值；

（2）將圖1中的△BEF繞點B順時針旋轉至圖2所示位置，請問（1）中所得的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

（3）將圖1中的△BEF繞點B順時針旋轉α（0°＜α＜90°），若BE=1，，當E，F，D三點共線時，求DF的長及tan∠ABF的值．

Answer 1

【答案】（1）EG⊥CG，；（2）結論還成立，證明見解析；

【解析】

試題（1）過G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H為EC中點，根據梯形的中位線求出EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根據直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可.

（2）延長EG到H，使EG=GH，連接CH、EC，過E作BC的垂線EM，延長CD，證△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，證出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案.

（3）連接BD，求出，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可．

試題解析：（1）EG⊥CG，，理由是：

如圖1，過G作GH⊥EC于H，

∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC.

∵G為DF中點，∴H為EC中點.

∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=BC.

∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形.

∴

（2）結論還成立，證明如下：

如圖2，延長EG到H，使EG=GH，連接CH、EC，過E作BC的垂線EM，延長CD，

∵在△EFG和△HDG中，GF＝GD，∠FGE＝∠DGH，EG＝HG，∴△EFG≌△HDG（SAS）.

∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG.∴EF∥DH.

∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4.∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC.

在△EBC和△HDC中，BE＝DH，∠EBC＝∠HDC，BC＝CD，∴△EBC≌△HDC．

∴CE=CH，∠BCE=∠DCH.

∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°.

∴△ECH是等腰直角三角形，

∵G為EH的中點，

∴EG⊥GC，，即（1）中的結論仍然成立.

（3）如圖3，連接BD，

∵AB=，正方形ABCD，∴BD=2.∴.

∴∠DBE=60°.∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°.∴∠ABF=45°-15°=30°.

∴.∴DE=BE=.

∴DF=DE-EF=.