Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，OABC的一個(gè)頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，OA邊落在x軸上，且OA=4，OC=2，∠COA=45°．反比例函數(shù)y=（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，連接AC，CD．

（1）試求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求證：CD平分∠ACB；

（3）如圖2，連接OD，在反比例的函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得S△POC=S△COD？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3） P的坐標(biāo)為（﹣1， +1）或P（+1， ﹣1）．

【解析】試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，已知OC=2，∠COA=45°，根據(jù)勾股定理求得OE=CE=2，即可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入y=求得k值，即可得反比例函數(shù)的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于G，交BC于F，先求得直線AB的解析式，把反比例函數(shù)的解析式和直線AB的解析式聯(lián)立，解方程組，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求得AD和DE的長(zhǎng)，根據(jù)角平分線的判定定理即可證得CD平分∠ACB；（3）存在，分點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)和點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)兩種情況求點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

試題解析：

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，

∴∠CEO=90°，

∵∠COA=45°，

∴∠OCE=45°，

∵OC=2，

∴OE=CE=2，

∴C（2，2），

∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上，

∴k=2×2=4，

∴反比例函數(shù)解析式為y=，

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于G，交BC于F，

∵CB∥x軸，

∴GF⊥CB，

∵OA=4，

由（1）知，OC=CE=2，

∴AE=EC=2，

∴∠ECA=45°，∠OCA=90°，

∵OC∥AB，

∴∠BAC=∠OCA=90°，

∴AD⊥AC，

∵A（4，0），AB∥OC，

∴直線AB的解析式為y=x﹣4①，

∵反比例函數(shù)解析式為y=②，

聯(lián)立①②解得，或（舍），

∴D（2+2，2﹣2），

∴AG=DG=2﹣2，

∴AD=DG=4﹣2，

∴DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，

∴AD=DF，

∵AD⊥AC，DF⊥CB，

∴點(diǎn)D是∠ACB的角平分線上，

即：CD平分∠ACB；

（3）存在，∵點(diǎn)C（2，2），

∴直線OC的解析式為y=x，OC=2，

∵D（2+2，2﹣2），

∴CD=2﹣2

Ⅰ、如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，即：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于2，

∵S△POC=S△COD，

∴設(shè)CD的中點(diǎn)為M，

∴M（+2，），

過(guò)點(diǎn)M作MP∥OC交雙曲線于P，

∴直線PM的解析式為y=x﹣2③，

∵反比例函數(shù)解析式為y=④，

聯(lián)立③④解得，

或（舍），

∴P（+1，﹣1）；

Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)P'在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，即：點(diǎn)P'的橫坐標(biāo)大于0而小于2，

設(shè)點(diǎn)M關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)為M'，M'（m，n），

∴=2， =2，

∴m=2﹣，n=4﹣，

∴M'（2﹣，4﹣），

∵P'M'∥OC，

∴直線P'M'的解析式為y=x+2⑤，

聯(lián)立④⑤解得，或（舍），

∴P'（﹣1， +1）．

即：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1， +1）或P（+1，﹣1）．