Question

求證：菱形四條邊的中點在以對角線交點為圓心的同一個圓上．

已知：如圖所示，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，而點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點．求證：E，F(xiàn)，G，H在以點O為圓心的同一個圓上．

Answer 1

答案：
解析：

證明：連結(jié)OE，OF，OG，OH，因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA．而E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，所以O(shè)E＝OF＝OG＝OH＝AB，所以E，F(xiàn)，G，H四個點在以O(shè)為圓心，以AB為半徑的圓上． 　　解題指導(dǎo)：要證明E，F(xiàn)，G，H四個點在以O(shè)為圓心的同一個圓上，只需證明EO＝FO＝GO＝HO，因為E，F(xiàn)，G，H是菱形各邊的中點，又因為菱形的對角線互相垂直，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，可得EO＝FO＝GO＝HO＝AB，命題得證．