Question

9．已知如圖，點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，8），點(diǎn)C在y軸上，將△OAB沿AC對折，使點(diǎn)O落在AB邊上的點(diǎn)D處．
（1）求直線AB的解析式？
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法直接求出直線AB解析式；
（2）先求出AB，設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)折疊表示出CD，BD，由勾股定理求出OC即得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，按邊分三種情況討論計(jì)算即可．

解答 解：（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+8，
∵點(diǎn)A（6，0），在直線AB上，
∴6k+8=0，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+8，
（2）∵點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=10，
設(shè)點(diǎn)C（0，c），
∴OC=c，
∴BC=8-c，
由折疊得，∠ADC-∠BDC=∠AOB=90°，CD=OC=c，AD=OA=6，
∴BD=AB-AD=4，
在Rt△BCD中，CD²+BD²=BC²，
即：c²+16=（8-c）²，
∴c=3，
∴C（0，3），
（3）∵△PAB為等腰三角形，
設(shè)點(diǎn)P（x，0），
①當(dāng)BP=BA，即：BP=10，
∵BP=$\sqrt{64+{x}^{2}}$，
∴64+x²=100，
∴x=6（舍）或x=-6，
∴P（-6，0），
②當(dāng)AP=AB，即：AP=10，
∵AP=|6-x|，
∴|6-x|=10，
∴x=-4或x=16，
∴P（-4，0）或（16，0），
③當(dāng)PA=PB時，
∵PB=$\sqrt{64+{x}^{2}}$，PA=|6-x|，
∴|6-x|=$\sqrt{64+{x}^{2}}$，
∴x=-$\frac{7}{3}$，
∴P（-$\frac{7}{3}$，0），
即：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-6，0）、（-4，0）、（16，0）、（-$\frac{7}{3}$，0）．

點(diǎn)評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)C的坐標(biāo)和分類討論．