Question

18．如圖，已知⊙O的直徑為AB，AC⊥AB于點A，BC與⊙O相交于點D，在AC上取一點E，使得ED=EA．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）當OE=10時，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接OD．通過證明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易證得結(jié)論；
（2）利用圓周角定理和垂徑定理推知OE∥BC，所以根據(jù)平行線分線段成比例求得BC的長度即可．

解答 （1）證明：如圖，連接OD．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．
在△AOE與△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{AE=DE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴ED是⊙O的切線；

（2）解：如圖，∵OE=10．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，
∴∠AEO=∠DEO，
又∵AE=DE，
∴OE⊥AD，
∴OE∥BC，
∴$\frac{OA}{AB}=\frac{OE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=2OE=20，即BC的長是20．

點評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)．解答（2）題時，也可以根據(jù)三角形中位線定理來求線段BC的長度．