Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx-的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、C（2，0），與y軸交于點(diǎn)B，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）M（s，t）為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

①若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②連接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）（2）①（，），（，-）或（，-）②≤t≤

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx-的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、C（2，0），可以求得該函數(shù)的解析式，然后將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①根據(jù)題意，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，然后利用分類(lèi)討論的方法即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②根據(jù)題意，構(gòu)造一個(gè)圓，然后根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系和∠AMB不小于60°，即可求得t的取值范圍．

（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx-的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、C（2，0），

∴，得，

∴y=x2-x-=，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式是y=x2-x-，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；

（2）①點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），（，-）或（，-）

理由：當(dāng)AM1⊥AB時(shí)，如右圖1所示，

∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（0，-），

∴OA=1，OB=，

∴tan∠BAO==，

∴∠BAO=60°，

∴∠OAM1=30°，

∴tan∠OAM1=，

解得，DM1=，

∴M1的坐標(biāo)為（，）；

當(dāng)BM3⊥AB時(shí)，

同理可得，，解得，DM3=，

∴M3的坐標(biāo)為（，-）；

當(dāng)點(diǎn)M2到線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的距離等于線(xiàn)段AB的一半時(shí)，

∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（0，-），

∴線(xiàn)段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（-），線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度是2，

設(shè)點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（，m），

則=1，解得，m=，

即點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（，-）；

由上可得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），（，-）或（，-）；

②如圖2所示，作AB的垂直平分線(xiàn)，于y軸交于點(diǎn)F，

由題意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°，

∴以F為圓心，AF長(zhǎng)為半徑作圓交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M和M′點(diǎn)，

則∠AMB=∠AM′B=∠AFB=60°，

∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1，

∴∠FAO=30°，AF==FM=FM′，OF=，

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥MM′于點(diǎn)G，

∵FG=，

∴MG=M′G=，

又∵G（，-），

∴M（，），M′（，），

∴≤t≤．