【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A,B,與y軸交于C,拋物線的頂點(diǎn)為D,直線l過C交x軸于E(4,0).
(1)寫出D的坐標(biāo)和直線l的解析式;
(2)P(x,y)是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)(不與B,D重合),PF⊥x軸于F,設(shè)四邊形OFPC的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最大值;
(3)點(diǎn)Q在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),過Q作y軸的平行線,交直線l于M,交拋物線于N,連接CN,將△CMN沿CN翻轉(zhuǎn),M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′.在圖2中探究:是否存在點(diǎn)Q,使得M′恰好落在y軸上?若存在,請(qǐng)求出Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)D(1,4),y=﹣x+3(2)當(dāng)x= 時(shí),S有最大值,最大值為;(3)存在,(,0)或(4,0)
【解析】
試題分析:(1)先把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式即可得到D點(diǎn)坐標(biāo),再求出C點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求直線l的解析式;
(2)先根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題求出B(3,0),再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=﹣2x+6,則P(x,﹣2x+6),然后根據(jù)梯形的面積公式可得S=﹣x2+x(1≤x≤3),再利用而此函數(shù)的性質(zhì)求S的最大值;
(3)如圖2,設(shè)Q(t,0)(t>0),則可表示出M(t,﹣t+3),N(t,﹣t2+2t+3),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到MN=|t2﹣t|,CM=t,然后證明NM=CM得到|t2﹣t|=t,再解絕對(duì)值方程求滿足條件的t的值,從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).
解:(1)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴D(1,4),
當(dāng)x=0時(shí),y=﹣x2+2x+3=3,則C(0,3),
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,
把C(0,3),E(4,0)分別代入得,解得,
∴直線l的解析式為y=﹣x+3;
(2)如圖(1),當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3,則B(3,0),
設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n,
把B(3,0),D(1,4)分別代入得,解得,
∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6,
則P(x,﹣2x+6),
∴S=(﹣2x+6+3)x=﹣x2+x(1≤x≤3),
∵S=﹣(x﹣)2+,
∴當(dāng)x=時(shí),S有最大值,最大值為;
(3)存在.
如圖2,設(shè)Q(t,0)(t>0),則M(t,﹣t+3),N(t,﹣t2+2t+3),
∴MN=|﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)|=|t2﹣t|,
CM==t,
∵△CMN沿CN翻轉(zhuǎn),M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′,M′落在y軸上,
而QN∥y軸,
∴MN∥CM′,NM=NM′,CM′=CM,∠CNM=∠CNM′,
∴∠M′CN=∠CNM,
∴∠M′CN=∠CNM′,
∴CM′=NM′,
∴NM=CM,
∴|t2﹣t|=t,
當(dāng)t2﹣t=t,解得t1=0(舍去),t2=4,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0);
當(dāng)t2﹣t=﹣t,解得t1=0(舍去),t2=,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),
綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,0)或(4,0).
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(1)求證:BE=CE;
(2)以點(diǎn)E為圓心,ED長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交BE,CE于點(diǎn)F,G.若BC=4,EB平分∠ABC,求圖中陰影部分(扇形)的面積.
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【題目】如圖,拋物線y=x2﹣bx+c交x軸于點(diǎn)A(1,0),交y軸于點(diǎn)B,對(duì)稱軸是x=2.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使△PAB的周長(zhǎng)最小?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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