Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，與BA的延長線交于點D，DE⊥PO交PO延長線于點E，連接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求證：PB是⊙O的切線．

（2）若PB=3，DB=4，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由已知角相等，及對頂角相等得到三角形DOE與三角形POB相似，利用相似三角形對應(yīng)角相等得到∠OBP為直角，即可得證；

（2）在直角三角形PBD中，由PB與DB的長，利用勾股定理求出PD的長，由切線長定理得到PC=PB，由PD-PC求出CD的長，在直角三角形OCD中，設(shè)OC=r，則有OD=8-r，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解得到r的值，然后通過相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，

∴∠OBP=∠E=90°，

∵OB為圓的半徑，

∴PB為圓O的切線；

（2）解：在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，

根據(jù)勾股定理得：PD==5，

∵PD與PB都為圓的切線，

∴PC=PB=3，

∴DC=PD﹣PC=5﹣3=2，

在Rt△CDO中，設(shè)OC=r，則有DO=4﹣r，

根據(jù)勾股定理得：（4﹣r）2=r2+22，

解得：r=，

∴OP=，

∵∠E=∠PBO，∠DPE=∠OPB，

∴△DEP∽△OBP，

∴，

∴DE=．