Question

【題目】（本題滿分14分）如圖，在正方形ABCD中，AB=5.點E為BC邊上一點（不與點B重合），點F為CD邊上一點，線段AE、BF相交于點O,其中AE=BF.

(1)求證：AE⊥BF；

(2)若OA-OB=1，求OA的長及四邊形OECF的面積；

(3)連接OD,若△AOD是以AD為腰的等腰三角形，求AE的長.

Answer 1

【答案】（1）證△ABE≌△BCF（2）OA=4，6

（3）

【解析】在△ABE和△BCF中

∵AB=BC,AE=BF

∴△ABE≌△BCF(HL),

∴∠BAE=∠CBF.

∵∠BAE+∠AEB=90°,

∴∠CBF+∠AEB=90°,

∴AE⊥BF.

設(shè)OA=x,則OB=x-1.

由勾股定理得

解之得

， （舍去）

.

,

,, .

,

,

,

（3）由題意知AD=OD.作DN⊥AE于點N.

在△ABO和△DAN中

∵∠AOB=∠AND, ∠DAN=∠ABO,AD=AB

∴△ABO≌△DAN（AAS）

∴AN=ON=OB

設(shè)AN=ON=OB=x，則OA=2x.

由勾股定理得

解之得

.

∵△ABO∽△AEB

, ， .