Question

【題目】已知函數(shù)與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），連接AC．

（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)：A（______，_____）、B（_____，_____）；

（2）在AB上找一點(diǎn)P，當(dāng)PC+PO最小時(shí)，在AC上找一點(diǎn)Q使得PQ+最小，求Q點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，平面內(nèi)能否找到一點(diǎn)K，使得點(diǎn)A、C、P、K構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，若能，直接寫出K點(diǎn)坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（，0），（0，6）；（2）Q（）；（3）能，K（，）或K（，）或K（，）．

【解析】

（1）在一次函數(shù)解析式中，分別令y=0和x=0即可求出A、B的坐標(biāo)；

（2）作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接C O′與AB交于P點(diǎn)，則P點(diǎn)即為使得CP+OP最小的點(diǎn)．過O′作O′D⊥x軸．可求出 O′的坐標(biāo)，O′C的解析式．由得P的坐標(biāo)．過Q作QH⊥x軸于H，與AC交于Q點(diǎn)．由含30°直角三角形的性質(zhì)可得QH=AQ，即可得到當(dāng)PH⊥x軸時(shí)與AC交點(diǎn)Q即為所求，即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）設(shè)K（x，y），點(diǎn)A、C、P、K構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，分三種情況討論：

①若AK，CP是對(duì)角線；②若AP，CK是對(duì)角線；③若AC，KP是對(duì)角線，；分別利用平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)平分對(duì)角線和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出點(diǎn)K的坐標(biāo)．

（1）在中，令y=0，解得：x=，令x=0，解得：y=6，∴A（，0），B（0，6）；

（2）作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接C O′與AB交于P點(diǎn)，則P點(diǎn)即為使得CP+OP最小的點(diǎn)．過O′作O′D⊥x軸．

∵OA=，OB=6，∴AB=，∴∠ABO=30，∠BAO=60，∴O′A=OA=，∠O′AB=∠OAB=60 ∴∠O'AD=60°，∴∠AO'D=30°，∴O′D=3，AD=，∴ O′（，3），易求O′C解析式為：．

由得P（，）．

過Q作QH⊥x軸于H，與AC交于Q點(diǎn)．

∵OC=2，OA=，∴∠CAO=30，∴QH=AQ，∴當(dāng)PH⊥x軸時(shí)與AC交點(diǎn)Q即為所求．

易求直線AC的解析式為，把x=代入，得y=，∴Q（）．

（3）設(shè)K（x，y）．

∵P（，），A（，0），C（0，2），點(diǎn)A、C、P、K構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，∴分三種情況討論：

①若AK，CP是對(duì)角線，則 ，，解得：x=，y=，∴ K（，）；

②若AP，CK是對(duì)角線，則 ，，解得：x=，y=，∴ K（，）；

③若AC，KP是對(duì)角線，則 ，，解得：x=，y=，∴ K（，）；

綜上所述：K（，）或K（，）或K（，）．