Question

如圖①，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（20，0）、（0，15），△CDE≌△AOB，且△CDE的頂點D與點B重合，DE邊在AB上，△CDE以每秒5個單位長度的速度勻速向下平移．當點C落在AB邊上時停止移動．設平移的時間為t（秒），△CDE與△AOB重疊部分圖形的面積為s（平方單位）．
（1）求證：CE∥y軸；
（2）點E落在x軸上時，求t的值；
（3）當點D在線段BO上時，求s與t之間的函數(shù)關系式；
（4）如圖②，設CD、CE與AB的交點分別為M、N，以MN為邊，在AB的下方作正方形MNPQ，求正方形MNPQ的邊與坐標軸有四個公共點時t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠CED=∠ABO，再根據(jù)內錯角相等，兩直線平行證明即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB的長，再根據(jù)全等三角形對應邊相等求出DE，然后求出AE的長，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出點E到y(tǒng)軸的距離，然后根據(jù)時間=路程÷速度計算即可得解；
（3）分①點E在x軸上方時，先表示出C′E，再根據(jù)∠CED的余弦和正弦表示出EF、C′F，然后根據(jù)重疊部分的面積=△CDE的面積-△C′EF的面積，列式整理即可得解；②點E在x軸下方時，再表示出E′G，根據(jù)∠E′的正切值表示出GH，然后根據(jù)重疊部分的面積=△CDE的面積-△C′EF的面積-△E′GF的面積，列式整理即可得解；
（4）利用△AOB的面積表示出AB邊上的高線的長度為12，再根據(jù)BD表示出DM，根據(jù)CN的長用∠C的正弦值表示出MN的長，然后根據(jù)DM＞MN且DM≠12，列出不等式求解即可．

解答：（1）證明：∵△CDE≌△AOB，
∴∠CED=∠ABO，
∴CE∥y軸；

（2）解：∵點A、B的坐標分別為（20，0）、（0，15），
∴OA=20，OB=15，
∴AB=

OA2+OB2

=

202+152

=25，
∵△CDE≌△AOB，
∴DE=OB=15，
∴AE=AB-DE=25-15=10，
如圖1，∵CE∥y軸，
∴△AEE′∽△ABO，
∴

EE′

OB

=

AE

AB

，
即

EE′

15

=

10

25

，
解得EE′=6，
∵△CDE的移動速度為每秒5個單位長度，
∴t=

6

5

；


（3）解：①點E在x軸上方時（0≤t≤

6

5

），如圖1，C′E=25-5t，
則EF=C′E•cos∠CED=（25-5t）×

15

25

=3（5-t），
C′F=C′E•sin∠CED=（25-5t）×

20

25

=4（5-t），
重疊部分的面積=△CDE的面積-△C′EF的面積，
=

1

2

×20×15-

1

2

×3（5-t）×4（5-t），
=150-6（5-t）²，
=-6t²+60t，
②點E在x軸下方時，∵15÷5=3，
∴

6

5

＜t≤3，
如圖2，GE′=5t-6，
∴GH=GE′•tan∠E′=（5t-6）×

20

15

=

4

3

（5t-6），
∴重疊部分的面積=△CDE的面積-△C′EF的面積-△E′GF的面積，
=

1

2

×20×15-

1

2

×3（5-t）×4（5-t）-

1

2

×（5t-6）×

4

3

（5t-6），
=150-6（5-t）²-

2

3

（5t-6）²，
=-

68

3

t²+100t-24，
所以，s=

-6t2+60t(0≤t≤ 6 5 ) - 68 3 t2+100t-24( 6 5 ＜t≤3)

；

（4）解：設△ABO的邊AB上的高為h，則S_△ABO=

1

2

×25•h=

1

2

×20×15，
解得h=12，
∵△CDE的移動速度為每秒5個單位長度，
∴BD=5t，
DM=BD•sin∠ABO=5t•

20

25

=4t，
又∵CN=25-5t，
∴MN=CN•sin∠C=（25-5t）×

15

25

=3（5-t），
∵正方形MNPQ的邊與坐標軸有四個公共點，
∴DM＜MN且MN≠h，
即4t＜3（5-t）且3（5-t）≠12，
解得t＜

15

7

且t≠1，
∴t的取值范圍為：0≤t＜1或1＜t＜

15

7

．

點評：本題是相似綜合題型，主要考查了全等三角形的性質，平行線的判定，相似三角形的判定與性質，解直角三角形，綜合性較強，難點較大，（3）要注意分情況討論求解，（4）要排除坐標原點在正方形邊上的情況．