Question

【題目】（2017四川省巴中市，第31題，12分）如圖，已知兩直線l1，l2分別經(jīng)過點A（1，0），點B（﹣3，0），且兩條直線相交于y軸的正半軸上的點C，當(dāng)點C的坐標(biāo)為（0，）時，恰好有l1⊥l2，經(jīng)過點A、B、C的拋物線的對稱軸與l1、l2、x軸分別交于點G、E、F，D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）試說明DG與DE的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

（3）若直線l2繞點C旋轉(zhuǎn)時，與拋物線的另一個交點為M，當(dāng)△MCG為等腰三角形時，請直接寫出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）DG=DE；（3）（﹣2，），（﹣1，）．

【解析】試題（1）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為．將點A、B、C的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于a、b、c的方程組，解方程求出a、b、c的值，進(jìn)而得到拋物線的解析式；

（2）利用待定系數(shù)法分別求出直線l1、直線l2的解析式，再求出G、D、E的坐標(biāo)，計算得出DG的長；

（3）當(dāng)△MCG為等腰三角形時，分三種情況：①GM=GC；②CM=CG；③MC=MG．

試題解析：解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為．

∵點A（1，0），點B（﹣3，0），點C（0，）在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式為；

（2）DG=DE．理由如下：

設(shè)直線l1的解析式為y=k1x+b1，將A（1，0），C（0，）代入，解得；

設(shè)直線l2的解析式為y=k2x+b2，將B（﹣3，0），C（0，）代入，解得；

∵拋物線與x軸的交點為A（1，0），B（﹣3，0），∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，又∵點G、D、E均在對稱軸上，∴G（﹣1，），D（﹣1，），E（﹣1，），∴DG=﹣=，DE=﹣=，∴DG=DE；

（3）若直線l2繞點C旋轉(zhuǎn)時，與拋物線的另一個交點為M，當(dāng)△MCG為等腰三角形時，分三種情況：

①以G為圓心，GC為半徑畫弧交拋物線于點M1、C，點M1與C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則M1的坐標(biāo)為（﹣2，）；

②以C為圓心，GC為半徑畫弧交拋物線于點M2、M3，點M2與點A重合，點A、C、G在一條直線上，不能構(gòu)成三角形，M3與M1重合；

③作線段GC的垂直平分線，交拋物線于點M4、M5，點M4與點D重合，點D的坐標(biāo)為（﹣1，），M5與M1重合；

綜上所述：滿足條件的點M只有兩個，其坐標(biāo)分別為（﹣2，），（﹣1，）．