Question

【題目】如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)在B點(diǎn)的拋物線交x軸于點(diǎn)A、D，交y軸于點(diǎn)E，連接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求證：CB是△ABE外接圓的切線；

（3）試探究坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）設(shè)△AOE沿x軸正方向平移t個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜t≤3）時(shí)，△AOE與△ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=a（x﹣3）（x+1）；點(diǎn)B（1，4）

（2）見解析

（3）見解析

（4）s=

【解析】

（1）由題意，設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣3）（x+1）．

將E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．

∴y=﹣x2+2x+3．

則點(diǎn)B（1，4）．

（2）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥y于點(diǎn)M，則M（0，4）．

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE==3．

在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．

∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．

∴AB是△ABE外接圓的直徑．

在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圓的切線．

（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；

若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則△DEP必為直角三角形；

①DE為斜邊時(shí)，P1在x軸上，此時(shí)P1與O重合；

由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE

滿足△DEO∽△BAE的條件，因此 O點(diǎn)是符合條件的P1點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，0）．

②DE為短直角邊時(shí)，P2在x軸上；

若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=；

而DE==，則DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9

即：P2（9，0）；

③DE為長(zhǎng)直角邊時(shí)，點(diǎn)P3在y軸上；

若以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=；

則EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=，OP3=EP3﹣OE=；

綜上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．

（4）解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．

將A（3，0），B（1，4）代入，得解得

∴y=﹣2x+6．

過(guò)點(diǎn)E作射線EF∥x軸交AB于點(diǎn)F，當(dāng)y=3時(shí)，得x=，∴F（，3）．

情況一：如圖2，當(dāng)0＜t≤時(shí)，設(shè)△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于點(diǎn)H，MN交AE于點(diǎn)G．

則ON=AD=t，過(guò)點(diǎn)H作LK⊥x軸于點(diǎn)K，交EF于點(diǎn)L．

由△AHD∽△FHM，得，即．

解得HK=2t．

∴S陰=S△MND﹣S△GNA﹣S△HAD=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t2t=﹣t2+3t．

情況二：如圖3，當(dāng)＜t≤3時(shí)，設(shè)△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于點(diǎn)I，交AE于點(diǎn)V．

由△IQA∽△IPF，得．即，

解得IQ=2（3﹣t）．

∴S陰=S△IQA﹣S△VQA=×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）2=（3﹣t）2=t2﹣3t+．

綜上所述：s=．