Question

17．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BC=6，P是BC邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，把△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到P′
（1）畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，保留作圖痕跡；
（2）求線段PP′的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)而得出答案；
（2）連接PP′，作P′Q⊥PC交PC延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，由BC=6、P是BC邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)知BP=2、CP=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=CP′=2、∠ABP=∠ACP′，證∠P′CQ=45°，求得CQ=P′Q=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P′C=$\sqrt{2}$，最后由勾股定理得PP′的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖，△ACP′即為所求三角形；


（2）連接PP′，作P′Q⊥PC交PC延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，
∵BC=6，P是BC邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)，
∴BP=2，CP=4，
由旋轉(zhuǎn)可知△ABP≌△ACP′，
∴BP=CP′=2，∠ABP=∠ACP′，
∵∠BAC=45°，
∴∠ABC+∠ACB=135°，
∴∠ACP′+∠ACB=135°，
∴∠P′CQ=45°，
∴CQ=P′Q=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P′C=$\sqrt{2}$，
則PQ=PC+CQ=4+$\sqrt{2}$，
∴PP′=$\sqrt{P{Q}^{2}+P′{Q}^{2}}$=2$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了作旋轉(zhuǎn)變換，根據(jù)題意得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．