Question

8．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M為AB的中點．D是射線BC上一個動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接ED，N為ED的中點，連接AN，MN．

（1）如圖1，當(dāng)BD=2時，AN=$\sqrt{10}$，NM與AB的位置關(guān)系是垂直；
（2）當(dāng)4＜BD＜8時，
①依題意補全圖2；
②判斷（1）中NM與AB的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論；
（3）連接ME，在點D運動的過程中，當(dāng)BD的長為何值時，ME的長最��？最小值是多少？請直接寫出結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到CD=2，根據(jù)勾股定理得到AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{10}$，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AN=$\frac{1}{2}$DE=$\sqrt{10}$，AM=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，推出△ACD∽△AMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)題意補全圖形即可；②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠B=45°，求得∠CAN+∠NAM=45°根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE，∠DAE=90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性質(zhì)得到∠AMN=∠ACD，即可得到結(jié)論；
（3）連接ME，EB，過M作MG⊥EB于G，過A作AK⊥AB交BD的延長線于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABE=∠K=45°，證得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=4$\sqrt{2}$，MB=2$\sqrt{2}$，由ME≥MG，于是得到當(dāng)ME=MG時，ME的值最小，根據(jù)等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，
∴CD=2，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{10}$，
∵N為ED的中點，
∴AN=$\frac{1}{2}$DE=$\sqrt{10}$，
∵M為AB的中點，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AN}{AD}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AM}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AN}{AD}=\frac{AM}{AC}$，
∵∠CAB=∠DAN=45°，
∴∠CAD=∠MAN，
∴△ACD∽△AMN，
∴∠AMN=∠C=90°，
∴MN⊥AB，
故答案為：$\sqrt{10}$，垂直；

（2）①補全圖形如圖2所示，
②（1）中NM與AB的位置關(guān)系不發(fā)生變化，
理由：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠CAN+∠NAM=45°，
∵線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∵N為ED的中點，
∴$∠DAN=\frac{1}{2}∠DAE=45°$，AN⊥DE，
∴∠CAN+∠DAC=45°，
∴∠NAM=∠DAC，在Rt△AND中，$\frac{AN}{AD}=cos∠$DAN=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
同理$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AM}{AN}$，
∵∠DAC=45°-∠CAN=∠MAN，
∴△ANM∽△ADC，
∴∠AMN=∠ACD，
∵D在BC的延長線上，
∴∠ACD=180°-∠ACB=90°，
∴∠AMN=90°，
∴MN⊥AB；


（3）連接ME，EB，過M作MG⊥EB于G，過A作AK⊥AB交BD的延長線于K，
則△AKB等腰直角三角形，
在△ADK與△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AK=AB}\\{∠KAD=∠BAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADK≌△ABE，
∴∠ABE=∠K=45°，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴AB=4$\sqrt{2}$，MB=2$\sqrt{2}$，
∴MG=2，
∵∠G=90°，
∴ME≥MG，
∴當(dāng)ME=MG時，ME的值最小，
∴ME=BE=2，
∴DK=BE=2，
∵CK=BC=4，
∴CD=2，
∴BD=6，
∴BD的長為6時，ME的長最小，最小值是2．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．