Question

18．如圖，已知直線l₁∥l₂，直線l₃和直線l₁、l₂分別交于點C和點D，P為直線l₃上一點，A、B分別是直線l₁、l₂上的定點．設∠CAP=∠1，∠APB=∠2，∠DBP=∠3．
（1）若P點在線段CD（C、D兩點除外）上運動時，問∠1、∠2、∠3之間的關系是什么？說明理由．
（2）在l₁∥l₂的前提下，若P點在線段CD之外時，∠1、∠2、∠3之間的關系又怎樣？直接寫出結果．

Answer 1

分析 （1）過點P作PE∥l₁，根據l₁∥l₂可知PE∥l₂，故可得出∠1=∠APE，∠3=∠BPE．再由∠2=∠APE+∠BPE即可得出結論；
（2）由于點P的位置不確定，故應分當點P在線段DC的延長線上與點P在線段CD的延長線上兩種情況進行討論．

解答 （1）∠2=∠1+∠3．
證明：如圖1，過點P作PE∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂，
∴∠1=∠APE，∠3=∠BPE．
又∵∠2=∠APE+∠BPE，
∴∠2=∠1+∠3；

（2）①如圖2所示，當點P在線段DC的延長線上時，∠2=∠3-∠1．
理由：過點P作PF∥l₁，∠FPA=∠1．
∵l₁∥l₂，
∴PF∥l₂，
∴∠FPB=∠3，
∴∠2=∠FPB-∠PFA=∠3-∠1；
②如圖3所示，當點P在線段CD的延長線上時，∠2=∠1-∠3．
理由：過點P作PE∥l₂，∠EPB=∠3．
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₁，
∴∠EPA=∠1，
∴∠2=∠EPA-∠EPB=∠1-∠3

點評 本題考查的是平行線的性質，根據題意作出輔助線，構造出平行線是解答此題的關鍵．