![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/5368a3fbe28d9.png)
解:(1)連接OD,設(shè)⊙O的半徑OA=OD=r,
∵AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,
∴DH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
DC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,
在Rt△OHD中,∵OD
2-OH
2=DH
2,OH
2=(AH-OA)
2=(5-r)
2,
∴r
2-(5-r)
2=(2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
)
2,解得r=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/190.png)
,
∴⊙O的半徑為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/190.png)
;
(2)作OG⊥AE,垂足為G,如圖,
∴AG=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
x,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/5368a3fbf3ad0.png)
∴△AOG∽△AFH,
∴AG:AH=AO:AF,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
x:5=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/190.png)
:AF,解得AF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/326528.png)
,
∴FH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/464949.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/567447.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6638.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/567448.png)
,
∵DF=FH-DH,
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6638.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/567448.png)
-2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,
定義域?yàn)?<x≤3
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
;
(3)當(dāng)點(diǎn)E在弧AD上時(shí),如圖,∵AF-AE=EF,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/326528.png)
-x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/5368a3fc15225.png)
化為整式方程得2x
2+3x-90=0,解得x
1=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1047.png)
(舍去),x
2=6,
∴DF=y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/155.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/567449.png)
-2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2353.png)
;
當(dāng)點(diǎn)E在弧DB上時(shí),如圖,∵AE-AF=EF,即x-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/326528.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
,
化為整式方程得2x
2-3x-90=0,解得x
1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1047.png)
,x
2=-6(舍去),
∵AB為直徑,
∴∠E=90°,
∴△AHF∽△AEB,BE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/68625.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/567450.png)
,
∴FH:BE=AH:AE,即FH:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/567450.png)
=5:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1047.png)
,解得FH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14565.png)
∴DF=DH-FH=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14565.png)
當(dāng)點(diǎn)E在BC弧上時(shí),同上得FH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14565.png)
,
∴DF=DH+FH=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14565.png)
.
綜上,DF的長為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2353.png)
或2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14565.png)
或2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14565.png)
.
分析:(1)連接OD,設(shè)⊙O的半徑OA=OD=r,根據(jù)垂徑定理得DH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
DC=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,在Rt△OHD中利用勾股定理得到r
2-(5-r)
2=(2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
)
2,然后解方程即可得到圓的半徑;
(2)作OG⊥AE,垂足為G,根據(jù)垂徑定理得AG=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
x且易得△AOG∽△AFH,則AG:AH=AO:AF,可解得AF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/326528.png)
,再在Rt△AHF中利用勾股定理得到FH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/464949.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6638.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/567448.png)
,然后利用DF=FH-DH即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式,當(dāng)E與D重合時(shí),x最大,則有0<x≤3
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
;
(3)分類討論:當(dāng)點(diǎn)E在弧AD上時(shí),由AF-AE=EF可解出x=6,再代入y與x的關(guān)系式中得到DF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2353.png)
;當(dāng)點(diǎn)E在弧DB上時(shí),由AE-AF=EF,可求得x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1047.png)
,然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出BE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/567450.png)
,再利用△AHF∽△AEB得到FH:BE=AH:AE,解得FH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14565.png)
,所以DF=DH-FH=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14565.png)
;當(dāng)點(diǎn)E在BC弧上時(shí),同上得FH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14565.png)
,然后利用DF=DH+FH計(jì)算即可.
點(diǎn)評:本題考查了圓的綜合題:垂徑定理和圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明或幾何計(jì)算中常用到;利用三角形相似比或勾股定理進(jìn)行計(jì)算幾何是常用的方法.