作業(yè)寶已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為H,AH=5,CD=數(shù)學(xué)公式,點(diǎn)E在⊙O上,射線AE與射線CD相交于點(diǎn)F,設(shè)AE=x,DF=y.
(1)求⊙O的半徑;
(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)E在弧AD上時(shí),求y與x之間的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)如果EF=數(shù)學(xué)公式,求DF的長.

解:(1)連接OD,設(shè)⊙O的半徑OA=OD=r,
∵AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,
∴DH=DC=×4=2
在Rt△OHD中,∵OD2-OH2=DH2,OH2=(AH-OA)2=(5-r)2,
∴r2-(5-r)2=(22,解得r=,
∴⊙O的半徑為;

(2)作OG⊥AE,垂足為G,如圖,
∴AG=AE=x,
∴△AOG∽△AFH,
∴AG:AH=AO:AF,即x:5=:AF,解得AF=,
∴FH===,
∵DF=FH-DH,
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-2,
定義域?yàn)?<x≤3;

(3)當(dāng)點(diǎn)E在弧AD上時(shí),如圖,∵AF-AE=EF,即-x=,
化為整式方程得2x2+3x-90=0,解得x1=-(舍去),x2=6,
∴DF=y=-2=;
當(dāng)點(diǎn)E在弧DB上時(shí),如圖,∵AE-AF=EF,即x-=
化為整式方程得2x2-3x-90=0,解得x1=,x2=-6(舍去),
∵AB為直徑,
∴∠E=90°,
∴△AHF∽△AEB,BE==,
∴FH:BE=AH:AE,即FH:=5:,解得FH=
∴DF=DH-FH=2-
當(dāng)點(diǎn)E在BC弧上時(shí),同上得FH=,
∴DF=DH+FH=2+
綜上,DF的長為或2-或2+
分析:(1)連接OD,設(shè)⊙O的半徑OA=OD=r,根據(jù)垂徑定理得DH=DC=2,在Rt△OHD中利用勾股定理得到r2-(5-r)2=(22,然后解方程即可得到圓的半徑;
(2)作OG⊥AE,垂足為G,根據(jù)垂徑定理得AG=AE=x且易得△AOG∽△AFH,則AG:AH=AO:AF,可解得AF=,再在Rt△AHF中利用勾股定理得到FH==,然后利用DF=FH-DH即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式,當(dāng)E與D重合時(shí),x最大,則有0<x≤3;
(3)分類討論:當(dāng)點(diǎn)E在弧AD上時(shí),由AF-AE=EF可解出x=6,再代入y與x的關(guān)系式中得到DF=;當(dāng)點(diǎn)E在弧DB上時(shí),由AE-AF=EF,可求得x=,然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出BE=,再利用△AHF∽△AEB得到FH:BE=AH:AE,解得FH=,所以DF=DH-FH=2-;當(dāng)點(diǎn)E在BC弧上時(shí),同上得FH=,然后利用DF=DH+FH計(jì)算即可.
點(diǎn)評:本題考查了圓的綜合題:垂徑定理和圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明或幾何計(jì)算中常用到;利用三角形相似比或勾股定理進(jìn)行計(jì)算幾何是常用的方法.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知AB是⊙O的直徑,∠CAB=30°,過點(diǎn)C的⊙O的切線交AB延長線于D,若OD=4
3
,那么弦AC長等于
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知AB是⊙O的直徑,過點(diǎn)O作弦BC的平行線,交過點(diǎn)A的切線AP于點(diǎn)P,連接AC.
(1)求證:△ABC∽△POA;
(2)若OB=2,OP=
72
,求BC的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,直線CD與AB的延長線交于點(diǎn)D,∠COB=2∠DCB.精英家教網(wǎng)
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)點(diǎn)E是
AB
的中點(diǎn),CE交AB于點(diǎn)F,若AB=4,求EF•EC的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知AB是⊙O的直徑,AD切⊙O于點(diǎn)A,
EC
=
CB
.給出下列結(jié)論:
①BA⊥DA;②OC∥AE;③OD⊥AC;④∠EAC=
1
4
∠EOB.
其中正確的結(jié)論有
①②④
①②④
.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知AB是⊙O的直徑,弧AC的度數(shù)是30°.如果⊙O的直徑為4,那么AC2等于( �。�

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