分析 (1)連接CM,易求點A,B的坐標,進而可得到AB的長,則圓的半徑可求出,再由勾股定理可求出OC的長,繼而可求出點C的坐標;
(2)由(1)可知點C的坐標,設(shè)過點C的“蛋圓”的切線交x軸于點G,然后根據(jù)三角形性質(zhì)求出G點坐標,用待定系數(shù)法求出直線GC的解析式;因為經(jīng)過點D的“蛋圓”切線過D點,所以本題可設(shè)它的解析式為y=kx-3.根據(jù)圖象可求出拋物線的解析式,因為相切,所以它們的交點只有一個,進而可根據(jù)一元二次方程的有關(guān)知識解決問題.
解答 解:(1)∵二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸交于點A、B,與y軸交于點D,
∴點A(-1,0),點B的坐標是(3,0),
∴AB=4,
∵半圓圓心為點M,
∴BM=AM=2,
∴OM=1,
連接CM,
∴OC=$\sqrt{C{M}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$,
∴點C的坐標是(0,$\sqrt{3}$);
(2)設(shè)過點C的“蛋圓”的切線交x軸于點G,
∵GC是⊙M的切線,
∴∠GCM=90°,
∴cos∠OMC=$\frac{OM}{MC}$=$\frac{MC}{MG}$,
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{MG}$,
∴MG=4,
∴G(-3,0),
∴直線GC的表達式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$;
設(shè)過點D的直線表達式為y=kx-3,
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{y{=x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$,
∴x2-(2+k)x=0,
∴△=[-(2+k)]2=0,
∴k=-2,
∴過點D的“蛋圓”的切線的表達式為y=-2x-3.
點評 本題考查和圓以及二次函數(shù)有關(guān)的綜合題目,需靈活運用待定系數(shù)法建立函數(shù)解析式,并利用切線的性質(zhì),結(jié)合一元二次方程是解題關(guān)鍵,題目的設(shè)計新穎,是一道不錯的中考題目.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | 1 | C. | -3 | D. | 3 |
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