16.我們把一個半圓與二次函數(shù)圖象的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”,如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點(半圓與二次函數(shù)圖象的連接點除外),那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.如圖,二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸交于點A、B,與y軸交于點D,AB為半圓直徑,半圓圓心為點M,半圓與y軸的正半軸交于點C.
(1)求點C的坐標;
(2)分別求出經(jīng)過點C和點D的“蛋圓”的切線的表達式.

分析 (1)連接CM,易求點A,B的坐標,進而可得到AB的長,則圓的半徑可求出,再由勾股定理可求出OC的長,繼而可求出點C的坐標;
(2)由(1)可知點C的坐標,設(shè)過點C的“蛋圓”的切線交x軸于點G,然后根據(jù)三角形性質(zhì)求出G點坐標,用待定系數(shù)法求出直線GC的解析式;因為經(jīng)過點D的“蛋圓”切線過D點,所以本題可設(shè)它的解析式為y=kx-3.根據(jù)圖象可求出拋物線的解析式,因為相切,所以它們的交點只有一個,進而可根據(jù)一元二次方程的有關(guān)知識解決問題.

解答 解:(1)∵二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸交于點A、B,與y軸交于點D,
∴點A(-1,0),點B的坐標是(3,0),
∴AB=4,
∵半圓圓心為點M,
∴BM=AM=2,
∴OM=1,
連接CM,
∴OC=$\sqrt{C{M}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$,
∴點C的坐標是(0,$\sqrt{3}$);
(2)設(shè)過點C的“蛋圓”的切線交x軸于點G,
∵GC是⊙M的切線,
∴∠GCM=90°,
∴cos∠OMC=$\frac{OM}{MC}$=$\frac{MC}{MG}$,
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{MG}$,
∴MG=4,
∴G(-3,0),
∴直線GC的表達式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$;
設(shè)過點D的直線表達式為y=kx-3,
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{y{=x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$,
∴x2-(2+k)x=0,
∴△=[-(2+k)]2=0,
∴k=-2,
∴過點D的“蛋圓”的切線的表達式為y=-2x-3.

點評 本題考查和圓以及二次函數(shù)有關(guān)的綜合題目,需靈活運用待定系數(shù)法建立函數(shù)解析式,并利用切線的性質(zhì),結(jié)合一元二次方程是解題關(guān)鍵,題目的設(shè)計新穎,是一道不錯的中考題目.

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6.解方程:
(1)5(x-2)=6-2(2x-1)
(2)x-$\frac{1}{3}$(2x-1)=1-$\frac{3x-1}{4}$.

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7.計算:-12+3×(-2)3-(-6)÷(-$\frac{1}{3}$)2

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4.如圖,AC和BD相交于點O,OA=OC,OB=OD.求證:
(1)DC=AB;
(2)DC∥AB.

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11.如圖所示:在平面直角坐標系中,以點M(0,$\sqrt{3}$)為圓心,2$\sqrt{3}$為半徑作⊙M交x軸于A,B兩點,交y軸于C,D兩點,連接AM并延長交⊙M于點P,連接PC交x軸于點E.
(1)求點C,P的坐標;
(2)求弓形$\widehat{ACB}$的面積;
(3)探求線段BE和OE存在何種數(shù)量關(guān)系,并證明你所得到的結(jié)論.

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1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,D為BC邊上一點,CD=3,過A,C,D三點的⊙O與斜邊AB交于點E,連結(jié)DE.
(1)求證:△BDE∽△BAC;
(2)求△ACD外接圓的直徑的長;
(3)若AD平分∠CAB,求出BD的長.

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8.已知:在梯形ABCD中,AD∥BC,AC=BC=10,cos∠ACB=$\frac{4}{5}$,點E在對角線AC上,且CE=AD,BE的延長線與射線AD、射線CD分別相交于點F、G,設(shè)AD=x,△AEF的面積為y.
(1)求證:∠DCA=∠EBC;
(2)如圖,當點G在線段CD上時,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域;
(3)如果△DFG是直角三角形,求△AEF的面積.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

5.若x+y=3且xy=1,則代數(shù)式(1+x)(1+y)的值等于( 。
A.-1B.1C.3D.5

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6.若關(guān)于x的方程2x2+ax+1=0有一個根為sin30°,則另一個根為( 。
A.$\frac{1}{2}$B.1C.-3D.3

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