Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，D為BC邊上一點(diǎn)，CD=3，過(guò)A，C，D三點(diǎn)的⊙O與斜邊AB交于點(diǎn)E，連結(jié)DE．
（1）求證：△BDE∽△BAC；
（2）求△ACD外接圓的直徑的長(zhǎng)；
（3）若AD平分∠CAB，求出BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理可證∠AED=90°，所以∠DEB=90°，再由公共角相等即可證明△BDE∽△BAC；
（2）由圓周角定理可證明AD是△ACD外接圓的直徑，在直角三角形ACD中利用勾股定理可求出AD的長(zhǎng)，問(wèn)題得解；
（3）設(shè)BD=x，則BC=CD+x，由勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，由（1）可知△BDE∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可得到關(guān)于x的比例式，進(jìn)而可求出x的值，BD的長(zhǎng)得解．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，
∴AD是圓的直徑，
∴∠AED=90°，
∴∠DEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）∵∠ACB=90°，
∴AD是圓的直徑，
∵AC=6，CD=3，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{45}$=3$\sqrt{5}$；
（3）∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，AC⊥CD，
∴CD=DE=3，
設(shè)BD=x，則BC=CD+x=3+x，
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（3+x）^{2}}$，
∵△BDE∽△BAC，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{AB}$，
即$\frac{3}{6}=\frac{x}{\sqrt{{6}^{2}+（3+x）^{2}}}$，
∴4x²=6²+（3+x）²，
解得：x=5或-3（舍），
∴BD=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識(shí)點(diǎn)有圓周角定理、勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及解一元二次方程，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，利用方程思想解決幾何題目是解題的關(guān)鍵．