Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，點(diǎn)O為AD上一動(dòng)點(diǎn)（4＜OA＜8），以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)M，連接OM，過(guò)點(diǎn)M作⊙O的切線交邊BC于N．

（1）求證：△ODM∽△MCN；
（2）設(shè)DM=x，求OA的長(zhǎng)（用含x的代數(shù)式表示）；
（3）在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△CMN的周長(zhǎng)為P，試用含x的代數(shù)式表示P，你能發(fā)現(xiàn)怎樣的結(jié)論？

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵M(jìn)N切⊙O于點(diǎn)M，

∴∠OMN=90°；

∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；

∴∠OMD=∠MNC；

又∵∠D=∠C=90°；

∴△ODM∽△MCN

（2）

解：在Rt△ODM中，DM=x，設(shè)OA=OM=R；

∴OD=AD﹣OA=8﹣R，

由勾股定理得：（8﹣R）2+x2=R2，∴64﹣16R+R2+x2=R2，

∴ ；

（3）

解法一：∵CM=CD﹣DM=8﹣x，

又∵ ，

且有△ODM∽△MCN，

∴ ，

∴代入得到 ；

同理 ，

∴代入得到 ；

∴△CMN的周長(zhǎng)為P= =（8﹣x）+（x+8）=16．

發(fā)現(xiàn)：在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△CMN的周長(zhǎng)P始終為16，是一個(gè)定值．

解法二：在Rt△ODM中， ，

設(shè)△ODM的周長(zhǎng)P′= ；

而△MCN∽△ODM，且相似比 ；

∵ ，

∴△MCN的周長(zhǎng)為P= ．

發(fā)現(xiàn)：在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△CMN的周長(zhǎng)P始終為16，是一個(gè)定值．

【解析】（1）依題意可得∠OMC=∠MNC，然后可證得△ODM∽△MCN．（2）設(shè)DM=x，OA=OM=R，OD=AD﹣OA=8﹣R，根據(jù)勾股定理求出OA的值．（3）由1可求證△ODM∽△MCN，利用線段比求出CN，MN的值．然后可求出△CMN的周長(zhǎng)等于CM+CN+MN，把各個(gè)線段消去代入可求出周長(zhǎng)．