Question

11．在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意一點(diǎn)P（x，y），我們做以下規(guī)定：d（P）=|x|+|y|，稱d（P）為點(diǎn)P的坐標(biāo)距離．
（1）已知：點(diǎn)A（3，-4），求點(diǎn)A的坐標(biāo)距離d（A）的值．
（2）如圖，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A，B在第一象限，且OC：OA=1：2．
①求證：d（A）=d（C）×2
②若OC=2，且滿足d（A）+d（C）=d（B）+2，求點(diǎn)B坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)d（P）=|x|+|y|，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)距離d（A）；
（2）①先過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，作CF⊥x軸于F，則∠CFO=∠OEA=90°，再設(shè)A（a，b），C（m，n），則|a|=OE，|b|=AE，|m|=OF，|n|=CF，通過判定△CFO∽△OEA，可得$\frac{CF+OF}{OE+AE}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{|n|+|m|}{|a|+|b|}$=$\frac{1}{2}$，據(jù)此可得d（A）=d（C）×2；
②先過點(diǎn)B作BG⊥CF，交CF的延長線于G，交y軸于H，則GF=OH，GH=OF，∠G=∠AEO=90°，再通過判定△BCG≌△OAE（AAS），得出OE=BG，AE=CG，BG=OE，然后由圖可得，d（A）=OE+AE，d（C）=OF+CF，d（B）=BH+OH=BH+GF，最后根據(jù)d（A）+d（C）=d（B）+2，即可得出OE+AE+OF+CF=BH+GF+2，將BH=BG-GH=OE-OF，GF=CG+CF=AE+CF代入后，可得OE+AE+OF+CF=（OE-OF）+（AE+CF）+2，求得OF=1，再根據(jù)勾股定理以及相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得出FG=CG+CF=2+$\sqrt{3}$=OH，BH=BG-OF=2$\sqrt{3}$-1，進(jìn)而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（3，-4），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)距離d（A）=|3|+|-4|=3+4=7；

（2）①證明：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，作CF⊥x軸于F，則∠CFO=∠OEA=90°，
設(shè)A（a，b），C（m，n），則|a|=OE，|b|=AE，|m|=OF，|n|=CF，
∵矩形ABCO中，∠AOC=90°，
∴∠AOE+∠COF=90°，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠COF=∠OAE，
∴△CFO∽△OEA，
∴$\frac{OC}{AO}$=$\frac{CF}{OE}$=$\frac{OF}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CF+OF}{OE+AE}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{|n|+|m|}{|a|+|b|}$=$\frac{1}{2}$，
即|a|+|b|=（|m|+|n|）×2，
∴d（A）=d（C）×2；

②如圖所示，過點(diǎn)B作BG⊥CF，交CF的延長線于G，交y軸于H，則GF=OH，GH=OF，∠G=∠AEO=90°，
∵∠BCO=90°=∠CFO，
∴∠BCG+∠FCO=∠COF+∠FCO=90°，
∴∠BCG=∠COF，
∵∠COF=∠OAE，
∴∠BCG=∠OAE，
∵四邊形ABCO是矩形，
∴CB=AO，
在△BCG和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCG=∠OAE}\\{∠G=∠AEO}\\{CB=AO}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△OAE（AAS），
∴OE=BG，AE=CG，BG=OE，
由圖可得，d（A）=OE+AE，d（C）=OF+CF，d（B）=BH+OH=BH+GF，
∵d（A）+d（C）=d（B）+2，
∴OE+AE+OF+CF=BH+GF+2，
又∵BH=BG-GH=OE-OF，GF=CG+CF=AE+CF，
∴OE+AE+OF+CF=（OE-OF）+（AE+CF）+2，
∴即OF=2-OF，
∴OF=1，
∵Rt△COF中，CO=2，
∴CF=$\sqrt{3}$，
又∵$\frac{OC}{AO}$=$\frac{CF}{OE}$=$\frac{OF}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{OE}$=$\frac{1}{AE}$=$\frac{1}{2}$，即OE=2$\sqrt{3}$，AE=2，
∴BG=2$\sqrt{3}$，CG=2，
∴FG=CG+CF=2+$\sqrt{3}$=OH，BH=BG-OF=2$\sqrt{3}$-1，
∴B（2$\sqrt{3}$-1，2+$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時注意：坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆�號�?/p>