Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交邊AB于點(diǎn)F，且∠CED=∠A．
（1）求證：AC=AF；
（2）在邊AB的下方畫∠GBA=∠CED，交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)DG，在圖中畫出圖形，并證明四邊形CDGB是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠BCD=90°，DE=EB，

∴EC=ED=EB，

∴∠EDC=∠ECD，

∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠A+∠DCE+∠AFC=180°，

又∵∠CED=∠A，

∴∠CDE=∠AFC，

∴∠AFC=∠ACF，

∴AC=AF

（2）解：圖象如圖所示．

∵∠CED=∠ABG，∠CED=∠A，

∴∠A=∠ABG，

∴AC∥BG，

∴∠ECD=∠BGE，

在△CED和△GEB中，

，

∴△CED≌△GEB，

∴CE=EG，

∴CE=DE=EB，

∴CG=BD，CE=EG，DE=EB，

∴四邊形CDGB是平行四邊形，∵BD=CG，

∴四邊形CDGB是矩形

【解析】（1）只要證明∠CDE=∠ECD，∠CDE=∠AFC即可解決問題．（2）只要證明CG=BD，CE=EG，DE=EB即可．
【考點(diǎn)精析】利用矩形的判定方法和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．