Question

5．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0），與y軸正半軸交于點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）證明：∠ACB=90°；
（3）P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，連接OP，若△OPM∽△ABC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a、b的值，則可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理可求得AC、BC和AB的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理可證明結(jié)論；
（3）可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出PM和OM的長(zhǎng)，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）在y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2中，令x=0可得y=2，
∴C（0，2），
∵A（-1，0），B（4，0），
∴AB=5，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AC²+BC²=（$\sqrt{5}$）²+（2$\sqrt{5}$）²=25=AB²，
∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，
∴∠ACB=90°；
（3）∵P為拋物線上一點(diǎn)，
∴可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），
∴OP=|t|，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，則有PM=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2，
∵△OPM∽△ABC，
∴$\frac{PM}{BC}$=$\frac{OM}{AC}$，即$\frac{-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t+2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$，解得t=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$或t=$\frac{7-\sqrt{65}}{2}$，
當(dāng)t=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$時(shí)，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2=-1+$\sqrt{17}$，此時(shí)P（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，-1+$\sqrt{17}$），
當(dāng)t=$\frac{7-\sqrt{65}}{2}$時(shí)，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2=$\sqrt{65}$-7，此時(shí)P（$\frac{7-\sqrt{65}}{2}$，$\sqrt{65}$-7），
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，同理可求得t=$\frac{7+\sqrt{65}}{2}$或t=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，
當(dāng)t=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$時(shí)，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2=-1-$\sqrt{17}$，此時(shí)P（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，-1-$\sqrt{17}$），
當(dāng)t=$\frac{7+\sqrt{65}}{2}$時(shí)，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2=-$\sqrt{65}$-7，此時(shí)P（$\frac{7+\sqrt{65}}{2}$，-$\sqrt{65}$-7），
綜上可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，-1+$\sqrt{17}$）或（$\frac{7-\sqrt{65}}{2}$，$\sqrt{65}$-7）或（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，-1-$\sqrt{17}$）或（$\frac{7+\sqrt{65}}{2}$，-$\sqrt{65}$-7）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、勾股定理及逆定理、相似三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中求得AB、AC、BC的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵，在（3）中用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，特別是第（3）問的計(jì)算量很大．