Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于 A（﹣1，0），B（4，0），C

（0，﹣4）三點(diǎn)，點(diǎn) P 是直線 BC 下方拋物線上一動點(diǎn)．

（1） 求這個二次函數(shù)的解析式；

（2） 是否存在點(diǎn) P，使△POC 是以 OC 為底邊的等腰三角形？若存在，求出 P 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3） 在拋物線上是否存在點(diǎn) D（與點(diǎn) A 不重合）使得 S△DBC＝S△ABC，若存在，求出點(diǎn) D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)拋物線解析式為y＝x2﹣3x﹣4；(2)存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，﹣2）；(3)存在滿足條件的D點(diǎn)，其坐標(biāo)為（5，6）．

【解析】

（1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）由題意可知點(diǎn)P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）存在．分兩種情況討論，再利用待定系數(shù)法以及解方程組即可解決問題．

(1)設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，

把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣3x﹣4；

(2)如圖1，作OC的垂直平分線DP，交OC于點(diǎn)D，交BC下方拋物線于點(diǎn)P，

∴PO＝PC，此時P點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，

∵C（0，﹣4），

∴D（0，﹣2），

∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣2，

代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，

∴存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，﹣2）；

(3)如圖2，

①當(dāng)D點(diǎn)在直線BC的上方時，過A點(diǎn)作AD1∥BC，交拋物線于D1，此時，使得S△DBC＝S△ABC，

∵B（4，0），C（0，﹣4），

∴直線BC的解析式為y＝x﹣4，

∵AD1∥BC，

∴設(shè)直線AD11的解析式為y＝x+n，

把A（﹣1，0）代入得，0＝﹣1+n，則n＝1，

∴直線AD1的解析式為y＝x+1，

解得或，

∴D1的坐標(biāo)為（5，6），

②當(dāng)D點(diǎn)在直線BC的下方時，

由直線AD1的解析式為y＝x+1可知直線AD1和y軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0， 1），

∴CE＝5，

∴直線AD的解析式為y＝x﹣10，

∵方程x2﹣3x﹣4＝x﹣10無實(shí)數(shù)根，

故存在滿足條件的D點(diǎn)，其坐標(biāo)為（5，6）．