Question

如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B，∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB，AC于E，F．

    (1) 圖中有幾個等腰三角形? 猜想：EF與BE，CF之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由．

    (2) 如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎? 如果有，分別指出它們在第(1)問中EF與BE，CF間的關(guān)系還存在嗎?

    (3) 如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎? EF與BE，CF關(guān)系又如何?說明你的理由．

Answer 1

(1) 圖中有5個等腰三角形，EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，                    且這兩個三角形均為等腰三角形，可得EF=EO+FO=BE+CF；

(2) 還有兩個等腰三角形，為△BEO，△CFO，如圖②所示，∵                       EF∥BC，∴∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠1=3，∴△BEO為等腰三角形，在△CFO中，同理可證．∴EF=BE+CF存在．  (3)有等腰三角形：△BEO，△CFO，此時EF=BE－CF，∵如圖③所示，OE∥BC，∴∠5=∠6，又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴△BEO是等腰三角形，在△CFO中，同理可證△CFO是等腰三角形，∵BE=EO，OF=FC，∴BE=EF+FO=EF+CF，∴EF=BE－CF．