Question

5．已知菱形OABC在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C（1，2），點(diǎn)A在x軸上．點(diǎn)M（0，2）．

（1）點(diǎn)P是直線OB 上的動(dòng)點(diǎn)，求PM+PC最小值．
（2）將直線y=-x-1向上平移，得到直線y=kx+b．
①當(dāng)直線y=kx+b與線段OC有公共點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出b的取值范圍．
②當(dāng)直線y=kx+b將四邊形OABC分成面積相等的兩部分時(shí)，求k，b．

Answer 1

分析 （1）連接AC、AM，由四邊形OABC是菱形，可得出PC=PA，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊即可得出PC+PM的取值范圍，再利用勾股定理求出AM即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)找出k值．①畫(huà)出圖形，分別代入O（0，0）、C（1，2）即可求出b的取值范圍；
②連接AC、OB，設(shè)AC與OB的交點(diǎn)為D，當(dāng)直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)D時(shí)，直線y=-x+b將四邊形OABC分成面積相等的兩部分，根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出b值即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知，OA=OC=$\sqrt{{2^2}+{1^2}}=\sqrt{5}$，連接AC、AM，如圖1所示．
∵四邊形OABC是菱形，
∴PC=PA，
∴PC+PM=PM+PA≤AM，
即PC+PM≤$\sqrt{O{M}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=3．
（2）∵y=kx+b為y=-x-1平移得來(lái)的，
∴k=-1．
①依照題意畫(huà)出圖形，如圖2所示．

結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)點(diǎn)O在直線y=-x+b上時(shí)，b最小，此時(shí)b=0；
當(dāng)點(diǎn)C在直線y=-x+b上時(shí)，b值最大，
∵點(diǎn)C（1，2），
∴2=-1+b，解得：b=3．
故0≤b≤3．
②連接AC、OB，設(shè)AC與OB的交點(diǎn)為D，當(dāng)直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)D時(shí)，直線y=-x+b將四邊形OABC分成面積相等的兩部分，如圖3所示．
∵OA=OC=$\sqrt{5}$，
∴點(diǎn)A（$\sqrt{5}$，0）．
∵四邊形OABC為菱形，C（1，2），A（$\sqrt{5}$，0），
∴點(diǎn)D（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，1）．
∵直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)D，
∴1=-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$+b，解得：b=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．
∴當(dāng)直線y=kx+b將四邊形OABC分成面積相等的兩部分時(shí)，k=-1，b=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）找出PC+PM≤AM；（2）①根據(jù)題意畫(huà)出圖形，以便確定直線y=kx+b的活動(dòng)區(qū)間；②求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題是關(guān)鍵．