Question

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，AB=5cm，△ABC的內(nèi)心與頂點C的距離為（　　）

• A． 1cm
• B． $\sqrt{2}$cm
• C． $\sqrt{3}$cm
• D． 3cm

Answer 1

分析 如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OE=r，先得到四邊形ODCE為正方形，則CD=CE=r，根據(jù)切線長定理得到AD=AF=4-r，BE=BF=3-r，則4-r+3-r=5，解得r=1，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)求出OC即可．

解答 解：如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OE=r，
易得四邊形ODCE為正方形，
∴CD=CE=r，
∴AD=AF=4-r，BE=BF=3-r，
而AF+BF=AB，
∴4-r+3-r=5，解得r=1，
∴OC=$\sqrt{2}$OD=$\sqrt{2}$，
即△ABC的內(nèi)心與頂點C的距離為$\sqrt{2}$．
故選B．

點評 本題考查了三角形內(nèi)心的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．也考查了切線的性質(zhì)．