Question

18．已知二次函數(shù)y=x²-（2m+1）+（$\frac{1}{2}$m²-1）．
（1）求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，該二次函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（2m-2，-2m-1），求該二次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）首先求出b²-4ac的表達(dá)式，進(jìn)而利用配方法求出其符號(hào)，進(jìn)而得出答案；
（2）將已知點(diǎn)代入進(jìn)而求出m的值得出答案．

解答 解：（1）∵b²-4ac=（2m+1）²-4（$\frac{1}{2}$m²-1）
=（4m²+4m+1）-2m²+4
=2m²+4m+5
=2（m+1）²+3＞0，
∴不論m取什么實(shí)數(shù)，方程x²-（2m+1）+（$\frac{1}{2}$m²-1）=0都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴不論m取什么實(shí)數(shù)，該二次函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）∵該二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（2m-2，-2m-1），
∴（2m-2）²-（2m+1）（2m-2）+（$\frac{1}{2}$m²-1）=-2m-1，
解得：m₁=2，m₂=6，
當(dāng)m=2時(shí)，該二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-5x+1，
當(dāng)m=6時(shí)，該二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-13x+17．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確得出m的值是解題關(guān)鍵．