Question

19．類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
原題：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E、Q分別在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點(diǎn)P，求證：$\frac{DP}{BQ}$=$\frac{PE}{QC}$．
（1）嘗試探究：在圖1中，由DP∥BQ得△ADP∽△ABQ（填“≌”或“∽”），則$\frac{DP}{BQ}$=$\frac{AP}{AQ}$，同理可得$\frac{PE}{QC}$=$\frac{AP}{AQ}$，從而$\frac{DP}{BQ}$=$\frac{PE}{QC}$．
（2）類(lèi)比延伸：如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG、AF分別交DE于M、N兩點(diǎn)，若AB=AC=1，則MN的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{2}}{9}$．
（3）拓展遷移：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG、AF分別交于DE于M、N兩點(diǎn)，AB＜AC，求證：MN²=DM•EN．

Answer 1

分析 （1）可證明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，從而根據(jù)等比代換，得出$\frac{DP}{BQ}$=$\frac{PE}{QC}$；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求出BC邊上的高$\frac{\sqrt{2}}{2}$，根據(jù)△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的邊長(zhǎng)$\frac{\sqrt{2}}{3}$，根據(jù)$\frac{MN}{GF}$等于高之比，即可求出MN；
（3）可得出△BGD∽△EFC，則DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF²=CF•BG，再根據(jù)（1）$\frac{DM}{BG}$=$\frac{MN}{GF}$=$\frac{EN}{FC}$，從而得出答案．

解答 解：（1）如圖1，∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴$\frac{DP}{BQ}$=$\frac{AP}{AQ}$，
同理可得△ACQ∽△APE，
∴$\frac{EP}{CQ}$=$\frac{AP}{AQ}$，
∴$\frac{DP}{BQ}$=$\frac{EP}{CQ}$．
故答案為：∽，$\frac{AP}{AQ}$；

（2）如圖2所示，作AQ⊥BC于點(diǎn)Q．
∵BC邊上的高AQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF，
∴DE：BC=1：3，
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∴AD=$\frac{1}{3}$，DE=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∵DE邊上的高為$\frac{\sqrt{2}}{6}$，MN：GF=$\frac{\sqrt{2}}{6}$：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MN：$\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MN=$\frac{\sqrt{2}}{9}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{9}$．

（3）證明：如圖3，∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴$\frac{DG}{CF}$=$\frac{BG}{EF}$，
∴DG•EF=CF•BG，
又∵DG=GF=EF，
∴GF²=CF•BG，
由（1）得$\frac{DM}{BG}$=$\frac{MN}{GF}$=$\frac{EN}{FC}$，
∴$\frac{MN}{GF}$×$\frac{MN}{GF}$=$\frac{DM}{BG}$×$\frac{EN}{CF}$，
∴（$\frac{MN}{GF}$）²=$\frac{DM}{BG}$×$\frac{EN}{CF}$，
∵GF²=CF•BG，
∴MN²=DM•EN．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列出比例式進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形或作輔助線構(gòu)造相似三角形．