Question

【題目】正方形ABCD和正方形CEFG如圖1所示,其中B、C、E在一條直線上,O是AF的中點,連接OD、OG

(1)探究OD與OG的位置關系的值;(寫出結論不用證明)

(2)如圖2所示,將正方形ABCD和正方形CEFG改為菱形ABCD和菱形CEFG,且∠ABC=∠DCE=120°,探究OD與OG的位置關系,及的比值;

(3)拓展探索:把圖1中的正方形CEFG繞C順時針旋轉小于90°的角后,其他條件均不變,問第1問中的兩個結論是否發(fā)生變化?(寫出結論不用證明)

Answer 1

【答案】（1）OD⊥OG. =1；(2)OD⊥OG, ，理由見解析；(3)第(1)問中的兩個結論沒有發(fā)生變化.

【解析】試題分析：

（1）延長GO交AD于點H，由已知條件易證△AHO≌△FGO，從而可得GO=HO，GF=AH=GC，結合AD=CD可得DH=DG，結合∠GDH=90°即可得到OD⊥OG，OD=OG，從而可得 ；

（2）延長GO交AD于H，同（1）易證△AHO≌△FGO，從而同理可得OD⊥OG，由已知條件可證得∠ODG=60°，則∠DGO=30°，結合∠DOG=90°，即可得到tan∠DGO=；

（3）第(1)問中的兩個結論沒有發(fā)生變化，如圖3，過點F作FH∥AD交DO的延長線于點H，延長DC交FH于點M，連接GH，DG，這樣由已知易證△ADO≌△FHO，從而可得FH=AD=CD，DO=HO；再由∠GCE=∠CMN=∠E=∠EFG=90°，可得∠DCG+∠MCN=∠MCN+∠CNM=∠FNE+∠NEF=∠NEF+∠GFH=90°，結合∠CNM=∠FNE可得∠DCG=∠CNM=∠GFH即可證得△DCG≌△HFG，進一步即可證得△DGH是等腰直角三角形，即可由此得到DO=GO，且DO⊥GO，從而說明（1）中結論仍然成立了.

試題解析：

(1)OD⊥OG， =1,理由如下：

如圖1，延長GO交AD于點H，由已知可得OA=OF，AD∥GF，

∴∠OAH=∠OFG，∠AHO=∠FGO，

∴△AHO≌△FGO，

∴OH=OG，AH=GF=GC，

又∵AD=CD，

∴DH=DG，

∴DO⊥OG，

∵∠ADC=90°，∴DO=OG，

∴；

(2)OD⊥OG ， ，理由如下：

如圖2所示,延長GO交AD于H.

∵菱形ABCD和菱形CEFG,且B、C、E在一條直線上,

∴AD∥GF，

∵O是AF的中點，

∴△AOH≌△FOG，

∴AH=CF,HO=OG，

∵CF=CG,AD=CD,

∴DH=DG，

∴DO⊥HG且∠ODG=60°，

∴ ；

(3)第(1)問中的兩個結論沒有發(fā)生變化，理由如下：

如圖3，過點F作FH∥AD交DO的延長線于點H，延長DC交FH于點M，連接GH，DG，

∴∠ADO=∠FHO，∠DAO=∠HFO，

又∵AO=FO，

∴△ADO≌△FHO，

∴FH=AD=CD，DO=HO，

∵∠GCE=∠CMN=∠E=∠EFG=90°，

∴∠DCG+∠MCN=∠MCN+∠CNM=∠FNE+∠NEF=∠NEF+∠GFH=90°，

又∵∠CNM=∠FNE，

∴∠DCG=∠CNM=∠GFH，

又∵DC=FH，CG=FG，

∴△DCG≌△HFG，

∴DG=HG/span>，∠DGC=∠HGF，

∵∠CGH+∠HFG=∠CGF=90°，

∴∠CGH+∠DGC=∠=90°，

∴△DGH是等腰直角三角形，

又∵DO=HO，

∴DO=GO，且DO⊥GO,

∴，

∴（1）中結論仍然成立.