如圖,已知拋物線與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.
⑴點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (用含b的代數(shù)式表示);
⑵請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
⑶請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似(全等可看作相似的特殊情況)?如果存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:⑴B(b,0),C(0,);
⑵假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)(x,y),連接OP,
則,∴.
過(guò)P作PD⊥x軸,PE⊥y軸,垂足分別為D、E,
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°. ∴四邊形PEOD是矩形. ∴∠EPD=90°.
∵△PBC是等腰直角三角形,∴PC=PB,∠BPC=90°.
∴∠EPC=∠BPD.
∴△PEC≌△PDB. ∴PE=PD,即x=y.
由 ,解得: .
由△PEC≌△PDB得EC=DB,即 ,解得符合題意.
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(,).
⑶假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似.
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO,∴∠QAB>∠AOQ,∠QAB>∠AQO.
∴要使得△QOA和△QAB相似,只能∠OAQ=∠QAB=90°,即QA⊥x軸.
∵b>2,∴AB>OA. ∴∠QOA>∠QBA,∴∠QOA=∠AQB,此時(shí)∠OQB =90°.
由QA⊥x軸知QA∥y軸,∴∠COQ=∠OQA.
∴要使得△QOA和△OQC相似,只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°.
(Ⅰ)當(dāng)∠OCQ=90°時(shí),△QOA≌△OQC. ∴AQ=CO= .
由得:,
解得:. ∵,∴,.
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1,).
(Ⅱ)當(dāng)∠OQC=90°時(shí),△QOA≌△OCQ. ∴,即.
又. ∴,即.
解得:AQ=4,此時(shí)b=17>2符合題意. ∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1,4).
∴綜上可知:存在點(diǎn)Q(1,)或(1,4),使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似.
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