如圖,已知拋物線x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.

    ⑴點(diǎn)B的坐標(biāo)為    ,點(diǎn)C的坐標(biāo)為    (用含b的代數(shù)式表示);

⑵請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

⑶請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似(全等可看作相似的特殊情況)?如果存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

   

解:⑴Bb,0),C(0,);

⑵假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形PCOB的面積等于2b,且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.

  設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)(x,y),連接OP,

  則,∴.

  過(guò)PPDx軸,PEy軸,垂足分別為D、E,

  ∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°. ∴四邊形PEOD是矩形. ∴∠EPD=90°.

∵△PBC是等腰直角三角形,∴PC=PB,∠BPC=90°.

∴∠EPC=∠BPD.

∴△PEC≌△PDB. ∴PE=PD,即x=y.

 ,解得: .

由△PEC≌△PDB得EC=DB,即 ,解得符合題意.

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(,).

⑶假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似.

  ∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO,∴∠QAB>∠AOQ,∠QAB>∠AQO.

∴要使得△QOA和△QAB相似,只能∠OAQ=∠QAB=90°,即QAx軸.

b>2,∴ABOA. ∴∠QOA>∠QBA,∴∠QOA=AQB,此時(shí)∠OQB =90°.

QAx軸知QAy軸,∴∠COQ=OQA.

∴要使得△QOA和△OQC相似,只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°.

(Ⅰ)當(dāng)∠OCQ=90°時(shí),△QOA≌△OQC. ∴AQ=CO= .

      由得:

解得:. ∵,∴.

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1,).

(Ⅱ)當(dāng)∠OQC=90°時(shí),△QOA≌△OCQ. ∴,即.

. ∴,即.

解得:AQ=4,此時(shí)b=17>2符合題意. ∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1,4).

∴綜上可知:存在點(diǎn)Q(1,)或(1,4),使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,8).
(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E.在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到直線CD的距離等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離?如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)M是直線CD上的一動(dòng)點(diǎn),BM交拋物線于N,是否存在點(diǎn)N是線段BM的中點(diǎn),如果存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),且對(duì)稱(chēng)軸方程為x=1
(1)求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,在其對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn),以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形,試求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),E(3,0),與y軸交于點(diǎn)B,且該精英家教網(wǎng)函數(shù)的最大值是4.
(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(
 
,
 
);
(2)求該拋物線的解析式和B點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)是D,求四邊形AEDB的面積;
(4)若拋物線y=mx2+nx+p與上圖中的拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•株洲)如圖,已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A(1,0),對(duì)稱(chēng)軸是x=-1,則該拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)是( 。

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如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,8).
(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線,交直線CD于點(diǎn)F,在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)G,使以點(diǎn)G、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△COE相似,請(qǐng)直接寫(xiě)出符合要求的,并在第一象限的點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)將拋物線沿其對(duì)稱(chēng)軸平移,使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn).試探究:拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度?

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同步練習(xí)冊(cè)答案