Question

20．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，過點D垂直于AC的直線交AC的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）如果AD=5，AE=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由AD為角平分線，得到一對角相等，再由OA=OD，得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行可得AE與OD平行，由兩直線平行同旁內角互補，得到∠E與∠EDO互補，再由∠E為直角，可得∠EDO為直角，即DE為圓O的切線，得證；
（2）連接BD，由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，得到∠ADB為直角，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數定義得到cos∠DAB=$\frac{AD}{AB}$，又在直角三角形AED中，由AE及AD的長，利用銳角三角函數定義求出cos∠EAD的值，由∠EAD=∠DAB，得到cos∠EAD=cos∠DAB，得出cos∠DAB的值，即可求出直徑AB的長，進而求得半徑長．

解答 （1）證明：連接OD，如圖1所示：
∵AD為∠CAB的平分線，
∴∠CAD=∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠BAD=ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠E+∠EDO=180°，
又∵AE⊥ED，即∠E=90°，
∴∠EDO=90°，
則ED為圓O的切線；

（2）解：連接BD，如圖2所示，過點A作AF⊥AC，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，cos∠DAB=$\frac{AD}{AB}$，
在Rt△AED中，AE=4，AD=5，
∴cos∠EAD=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{4}{5}$，又∠EAD=∠DAB，
∴cos∠DAB=cos∠EAD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
則AB=$\frac{5}{4}$AD=$\frac{25}{4}$，即圓的直徑為$\frac{25}{4}$，
∴半徑AO=$\frac{25}{8}$．

點評 此題考查了切線的判定，圓周角定理，勾股定理，平行線的判定與性質，以及銳角三角函數定義，切線的證明方法有兩種：有點連接證垂直；無點作垂線證明垂線段等于圓的半徑．