Question

如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：

（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）①相等，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，

∵F是角平分線交點(diǎn)，

∴BF也是角平分線，

∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，

∴∠BAC=30°，

∴

∴∠CDA=75°，

∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，

∴∠NFE=15°，

∴∠NEF=75°=∠MDF，

∴△DMF≌△ENF，

∴FE=FD；

②成立．過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，

∵F是角平分線交點(diǎn)，

∴BF也是角平分線，

∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，

∴四邊形BNFM是圓內(nèi)接四邊形，

∵∠B=60°，

∴∠MFN=180°-∠B=120°，

∵

∴∠DFE=∠CFA=120°．

又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，

∴∠DFM=∠DFE，

∴△DMF≌△ENF，

∴FE=FD．

【解析】提到角平分線就會(huì)想到角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，就要做輔助線（過(guò)角平分線上的任一點(diǎn)到角兩邊的距離），構(gòu)造全等三角形