Question

【題目】如圖1所示，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（5，0）兩點，與y軸交于C點，D為拋物線的頂點，E為拋物線上一點，且C、E關于拋物線的對稱軸對稱，分別作直線AE、DE．

（1）求此二次函數的關系式；
（2）在圖1中，直線DE上有一點Q，使得△QCO≌△QBO，求點Q的坐標；
（3）如圖2，直線DE與x軸交于點F，點M為線段AF上一個動點，有A向F運動，速度為每秒2個單位長度，運動到F處停止，點N由F處出發(fā)，沿射線FE方向運動，速度為每秒 個單位長度，M、N兩點同時出發(fā)，運動時間為t秒，當M停止時點N同時停止運動坐標平面內有一個動點P，t為何值時，以P、M、N、F為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形．請直接寫出t值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣5），即y=﹣x2+4x+5；

（2）

解：如圖1，y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，則D（2，9），拋物線的對稱軸為直線x=2，

當x=0時，y=﹣x2+4x+5=5，則C（0，5），

∵C、E關于拋物線的對稱軸對稱，

∴E（4，5），

設直線DE的解析式為y=mx+n，

把D（2，9），E（4，5）代入得 ，解得 ，

∴直線DE的解析式為y=﹣2x+13，

∵△QCO≌△QBO，

∴∠COQ=∠BOQ，

∴點Q為第一象限角平分線上的點，

即OQ的解析式為y=x，

解方程組 ，解得 ，

∴Q點的坐標為（ ， ）；

（3）

解：如圖2，

對稱軸交x軸于點H，DH=9，F(xiàn)H= ，DF= ，

當y=0時，﹣2x+13=0，解得x= ，則F（ ，0），

∴AF= ﹣（﹣1）= ，

AM=2t，F(xiàn)N= t，則FM= ﹣2t，

當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FM、FN為菱形的兩鄰邊，則FN=FM，即 t= ﹣2t，解得t= ；

當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FN為菱形對角線，連接MP交FN于Q，則PM與NQ互相垂直平分，F(xiàn)Q= t，

易得△FQH∽△FHD，

∴FQ：FH=FM：FD，即 t： =（ ﹣2t）： ，解得t= ；

當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FM為菱形對角線，NP與MF相交于K，如圖3，則MF與NP互相垂直平分，F(xiàn)K= MF= （ ﹣2t），

易得△FKN∽△FHD，

∴FK：FH=FN：FD，即 （ ﹣2t）： = t： ，解得t= ；

當以P、M、N、F為頂點的四邊形是矩形，且∠NMF=90°，

易得△FMN∽△FHD，

∴FM：FH=FN：FD，即（ ﹣2t）： = t： ，解得t= ；

當以P、M、N、F為頂點的四邊形是矩形，且∠MNF=90°，

易得△FNM∽△FHD，

∴FM：FD=FN：FH，即（ ﹣2t）： = t： ，解得t= ，

綜上所述，t的值為 或 或 或 或 ．

【解析】（1）直接利用交點式寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，利用配方法得到D（2，9），拋物線的對稱軸為直線x=2，再確定C（0，5），則E（4，5），接著利用待定系數法求出直線DE的解析式為y=﹣2x+13，然后根據全等三角形的性質得到∠COQ=∠BOQ，所以點Q為第一象限角平分線上的點，最后解方程組 得Q點的坐標；（3）如圖2，對稱軸交x軸于點H，先確定DH=9，F(xiàn)H= ，DF= ，AF= ，AM=2t，F(xiàn)N= t，則FM= ﹣2t，分類討論：當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FM、FN為菱形的兩鄰邊，則FN=FM，即 t= ﹣2t；當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FN為菱形對角線，連接MP交FN于Q，利用菱形的性質得FQ= t，再通過得△FQH∽△FHD得到 t： =（ ﹣2t）： ；當以P、M、N、F為頂點的四邊形是菱形，且FM為菱形對角線，NP與MF相交于K，如圖3，利用菱形的性質得FK= （ ﹣2t），再通過△FKN∽△FHD得到 （ ﹣2t）： = t： ；當以P、M、N、F為頂點的四邊形是矩形，且∠NMF=90°，通過△FMN∽△FHD得到（ ﹣2t）： = t： ；當以P、M、N、F為頂點的四邊形是矩形，且∠MNF=90°，通過△FNM∽△FHD得到（ ﹣2t）： = t： ，然后分別解關于t的方程可確定滿足條件的t的值．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．