Question

    如圖，在平面直角坐標系中，以點C(1,1) 為圓心，2 為半徑作圓，交軸于A，B 兩點，點 P在 ⊙C上．

(1) 求出A，B 兩點的坐標；

(2) 試確定經(jīng)過 A、 B兩點且以點 P為頂點的拋物線解析式；

(3) 在該拋物線上是否存在一點D，使線段 OP與CD 互相平分？若存在，求出點 D 的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 解：(1) 做CH⊥x軸，H 為垂足，連接CB-----------1分

∵CH=1，半徑CB=2

∴HB=-------------------------------------2分

故-----------------------3分

(2) 由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P 的坐標為

(1，3) 或(1，-1)---------------------------------4分

情況一：設(shè)拋物線表達式y(tǒng)=a(x-1)²+3，

把點 代入上式，解得a=-1．

∴  y=-x²+2x+2-----------------------------------5分

情況二：設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a(x-1)²-1，

把點 代入上式，解得，

------------------------------6分

(3) 假設(shè)存在點D 使線段OP 與CD 互相平分，

則四邊形OCPD 是平行四邊形-

∴PC∥OD且PC=OD

∵PC∥Y軸

∴點D在Y軸上．

又PC=2，

∴OD=2，即D(0，2) 或(0，-2) -

(0，2) 滿足y=-x²+2x+2

(0,-2) 不滿足任何一條拋物線的解析式，

 ∴ 點D(0，2) 在拋物線上．

所以存在D(0，2) 使線段OP 與CD 互相平分