Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=﹣x+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

①連接PO，交AC于點(diǎn)E，求的最大值；

②過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC，垂足為點(diǎn)F連接PC，是否存在點(diǎn)P，使△PFC中的一個(gè)角等于∠CAB的2倍？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）①1；②P點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3）或（，）．

【解析】

（1）由直線求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式求出，的值；

（2）①過(guò)點(diǎn)P向軸做垂線，交直線AC于點(diǎn)M，交軸于點(diǎn)N，

利用相似三角形的性質(zhì)得，求出的表達(dá)式，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)，求出的最大值，即可得出答案；

②分兩種情況討論：

情況一：

以為條件，由幾何關(guān)系得出，即，

令P（ ，），代入解出P點(diǎn)坐標(biāo)；

情況二：

以為條件，，

設(shè)，由幾何關(guān)系得到，解出的值，求得P點(diǎn)坐標(biāo).

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即C（0，2），

當(dāng)y=0時(shí)，x=4，即A（4，0），

將A，C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，

解得，

拋物線的解析是；

（2）①過(guò)點(diǎn)P向軸做垂線，交直線AC于點(diǎn)M，交軸于點(diǎn)N

，

∵直線軸，

∴，

∴，

把代入，得，即OC=2，

設(shè)點(diǎn)P（，），則點(diǎn)M（ ，），

∴PM=（）-（）==，

∴，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值1．

②∵A（4，0），B（﹣1，0），C（0，2），

∴AC=，BC=，AB=5，

∴，

∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)D，

∴D（，0），

∴，

∴，

∴，

過(guò)P作軸的平行線交軸于R，交AC的延長(zhǎng)線于G，

情況一：如圖，

，

∴，

∴，

∴，

即，

令P（ ，），

∴PR=，RC=，

∴，

∴（舍去）， ，

∴，，P（2，3）

情況二，∴，

∴，

設(shè)，

∴，，

∵，

∴，

∴，，

∴，，

，

∴，

∴（舍去），，

，，即P，

綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)是或．