Question

如圖，在直角坐標系xOy中，二次函數圖象的頂點坐標為C（4，-），且在x軸上截得的線段AB的長為6．
（1）求二次函數的解析式；
（2）設拋物線與y軸的交點為D，求四邊形DACB的面積；
（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得∠PAC被x軸平分？如果存在，請求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線的頂點坐標即可得出拋物線的對稱軸方程，結合AB的長度即可求出A、B的坐標，進而可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）根據拋物線的解析式易求得D點坐標，可將四邊形DACB的面積分成△DAB和△ABC兩部分來求；
（3）此題可通過構建相似三角形求解，過P作PF⊥x軸于F，設拋物線的對稱軸與x軸的交點為E，若∠PAC被x軸平分，那么△APF∽△ACE，根據相似三角形所得到的比例線段即可求出P點的坐標．
解答： 解：
（1）根據題意，得：OE=4，AE=BE=3
∴OA=1，OB=7即A（1，0）、B（7，0）
設y=a（x-1）（x-7）
∵x=4，y=-，∴a=
所求解析式為y=（x-1）（x-7）（或y=x²-x+）

（2）連接DA、AC、BC、DB
當x=0時，y=，∴D（0，）
∴S_{四邊形DACB}=S_△DAB+S_△ACB==

（3）假設存在點P（x，y），使x軸平分∠PAC，過點P作PF⊥x軸，垂足為點F
則△APF∽△ACE
∴=，即：
3（）=
∴x²-11x+10=0，x₁=10，x₂=1
當x=10時，y=
當x=1時，y=0（不合題意，舍去）
∴P（10，3）．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法以及相似三角形的判定和性質．