Question

8．如圖所示，一根木棒AB長為2，斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60°，當木棒A端沿NO向下滑動到A′，B端沿直線OM向右滑動到B′，若AA′=$\sqrt{3}$-1，則木棒的中點從P隨之運動到P′所經(jīng)過的路徑長為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$A′B′=OP′，即P是隨之運動所經(jīng)過的路線是一段圓弧；在Rt△AOB中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到∠AOP=30°，OA=$\sqrt{3}$，則易求出OA′=OA-AA′=1，即可得到△A′OB′為等腰直角三角形，得到∠A′B′O=45°，則∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，然后根據(jù)弧長公式計算即可．

解答 解：如圖，連接OP、OP′，
∵ON⊥OM，P為AB中點，
∴OP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$A′B′=OP′，
∵AB=2，
∴OP=1，
當A端下滑B端右滑時，AB的中點P到O的距離始終為定長1，
∴P是隨之運動所經(jīng)過的路線是一段圓弧，
∵∠ABO=60°，
∴∠AOP=30°，OA=$\sqrt{3}$，
∵AA′=$\sqrt{3}$-1，OA′=OA-AA′=1，
∴sin∠A′B′O=$\frac{OA′}{A′B′}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A′B′O=45°，
∴∠A′OP=45°
∴∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，
∴弧PP′的長=$\frac{15π×\frac{1}{2}}{180}$=$\frac{π}{6}$，
即P點運動到P′所經(jīng)過路線PP′的長為$\frac{π}{6}$，
故答案是：$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了軌跡和弧長公式：l=$\frac{nπR}{180}$（n為弧所對的圓心角的度數(shù)，R為半徑），也考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及含30度的直角三角形三邊的關系和等腰直角三角形的性質．